El teorema de descomposición de Jordania para las medidas firmadas

Question

Si $\nu$ es una firma de medida existe únicas medidas positivas $\nu^{+}$ $\nu^{-}$ s.t. $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$ $\nu^{+}\perp\nu^{-}$

Agradecería si alguien me puede orientar a través de la prueba.

Prueba: supongamos $X=P\cup N$ ser Hahn descomposición para $\nu$, definir $\nu^{+}(E):=\nu(E\cap P)$$\nu^{-}(E):=-\nu(E\cap N)$, en tanto $\nu^{-}$ $\nu^{+}$ son positivos. También se $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$ $\nu^{+}\perp\nu^{-}$

1) ¿por qué es $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$ por la definición anterior tenemos $\nu(E)=\nu^{+}(E)-\nu^{-}(E)=\nu(E\cap P)+\nu(E\cap N)$ algunos $E\in\mathcal{M}$ $E\neq \emptyset$

2) También la razón por la $\nu^{+}\perp\nu^{-}$? Es a causa de $P$ es nulo para $\nu^{-}$ $N$ es nulo para $\nu^{+}$? y $P\cup N=X$,$P\cap N=\emptyset$

En cuanto a la singularidad parte. Deje $\nu=\mu^{+}-\mu^{-}$ ser otro de descomposición. Deje $E,F$ ser medible s.t. $E\cup F=X$ $F\cap E=\emptyset$ ser otro Hahn decompotion. También se $\mu^{+}(F)=\mu^{-}(E)=0$. A continuación, $P\triangle E$ $\nu$- null. ¿Por qué es $\nu$-null?

Tenemos que mostrar que $\nu^{-}=\mu^{-}$ así que empezamos $A\in\mathcal{M}$ $\mu^{+}(A)=\mu^{+}(A\cap E)=\nu(A\cap E)=\nu(A\cap P)=\nu^{+}(A)$ ¿Cómo podemos obtener la segunda igualdad? ¿La tercera igualdad se sigue del hecho de que $P\triangle E$ $\nu$- null?

Answer 1

Creo que la idea de la prueba es: Encontrar un potencial de $\nu^+,\nu^-$ positivo el uso de Hahn dec; a Través de la construcción de la siguiente manera mutua singularidad; (mostrando que es único es intuitivamente consecuencia de $P\triangle E$) Conseguir un nuevo par de medidas positivas s.t. $\nu=\mu^+-\mu^-$, mutua singularidad $\Rightarrow$ Hahn dec, pero ninguna diferencia en los dos positivos (negativos) Hahn conjuntos es un conjunto null.

1) creo que tienes que hacer los pasos de la otra manera el uso de un Hahn dic. para obtener dos medidas (uno positivo y uno negativo) que es un candidato a ser demostrado ser el único par: $$ \nu(E)=\nu(E\cap (P\cup N))=\nu(E\cap P) +\nu(E\cap N) $$ 2) Sí, $\forall A\subset N$ $$ \nu^+(A)=\nu(A\cap P) = 0 $$ Pasos similares para $\nu^-$.

3.?1) $P\triangle E$ es $\nu$-null es un resultado de Hahn Descomposición Thm cuando se tienen dos Hahn, dism para el mismo firmado medida.

3.?2) $$\nu(A\cap E)=\nu^+(A\cap E)-\nu^-(A\cap E)=\nu^+(A\cap E)+\nu(A\cap E\cap F) $$ but $E\cap F=\emptyset$ because $E,F$ is a Hahn dec for $\nu$.

3.?3)yo no lo veo de la forma en que me probarlo, $$ \nu(A\cap E\cap (P\cup N))= \nu(A\cap E\cap P)+\nu(A\cap E\cap N) $$ pero el $E$ es positiva y $N$ negativo, entonces $$ \nu(A\cap E\cap N)\geq 0 \text{ porque }\cap E\cap N\subconjunto de E $$ $$ \nu(A\cap E\cap N)\leq 0 \text{ porque }\cap E\cap N\subconjunto de N $$ $$ \Rightarrow \nu(A\cap E\cap N)=0. $$ Del mismo modo $$ \nu(A\cap E\cap (P\cup N))=\nu(A\cap E\cap P)+\nu(A\cap E\cap N)=\nu(A\cap E\cap P) $$ y así $$ \nu(A\cap P)=\nu(A\cap E) $$