Encuentre todos los$\mathbb{Z}_n$ en los que$x^2+2$ divide$x^5-10x+12$

Question

Encontrar todos los $n\ge2$ tal que $x^2+2$ divide $x^5-10x+12$$\mathbb{Z}_n$.

Para empezar, he dividido $x^5-10x+12$ $x^2+2$ lo que me dio: $$x^5-10x+12 = (x^3-2x)(x^2+2)-6x+12$$

Así que, supongo que tengo que encontrar a $\mathbb{Z}_n$ en una manera que $-6x+12$ es congruente a $0$, ¿verdad? Pero tengo una pregunta antes de ella. Puedo atención acerca de la $-6x+12$ y no me importa cuando, por ejemplo, $x^2+2$ será congruente a $0$ en algunos $\mathbb{Z}_k$? Por ejemplo, si yo escojo $\mathbb{Z}_6$ obtengo lo que deseo, pero, ¿qué acerca de la $\mathbb{Z}_2$? Yo no estaría dividiendo por $x^2+2$, ya que es $x^2$$\mathbb{Z}_2$. También, la respuesta ser cada $\mathbb{Z}_{2k}$?

Answer 1

En$\mathbb{Z}_2$ tenemos$-6x+12=0$, así que efectivamente$x^2+2$ divide$x^5-10x+12$. El hecho de que$x^2+2=x^2$ es más o menos irrelevante. El polinomio$x^2+2$ es monico, por lo que su división es correcta en todos los$\mathbb{Z}_n[x]$ con$n\ge 1$.

La respuesta no será todo$\mathbb{Z}_{2k}$. Por ejemplo,$-6x+12$ no es el polinomio cero en$\mathbb{Z}_{14}$, y de hecho ya no es cero en$\mathbb{Z}_8$.