Deje $V$ ser un espacio vectorial. En un curso de geometría proyectiva me dijeron que $$ \mathbb{P}V=\{l\subseteq V:l \text{ es una línea en }V\}. $$ El estudio de la geometría algebraica he visto que el projectivization del espacio vectorial $V$ se define como $$ \mathbb{P}V=\mathrm{Value}\left(\bigoplus_{k=0}^{\infty}\mathrm{Símbolo}^{k}(V^{\vee})\right). $$ El problema es que yo realmente no entiendo cómo esta espacios están relacionados unos con otros. Para ser más precisos, dada una línea de $l\subseteq V$, que es el homogéneos primer ideal de $\bigoplus_{k=0}^{\infty}\mathrm{Sym}^{k}(V^{\vee})$ correspondiente a $l$, y dado un punto de $p\in \mathrm{Proj}\left(\bigoplus_{k=0}^{\infty}\mathrm{Sym}^{k}(V^{\vee})\right)$ (lo necesitamos para ser cerrado?), que es la línea de $V$ correspondiente a $p$?
Respuesta
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Los elementos de $V^\vee$ puede ser identificado con la homogénea lineal de polinomios en las coordenadas de $V$. De hecho, un elemento típico de $V^\vee$ es una asignación $V \to k$ de la forma $$ (x_0, \dots, x_n) \mapsto a_0 x_0 + \dots + a_n x_n,$$ por cierto $a_0, \dots, a_n \in k$.
Del mismo modo, podemos afirmar que los elementos de la ${\rm Sym}^k (V^\vee)$ puede ser identificado con el polinomios homogéneos de grado $k$ de las coordenadas de $V$.
De modo que el anillo de $\oplus_{k=0}^\infty {\rm Sym}^k (V^\vee)$ no es otro que el polinomio de anillo, $$\oplus_{k=0}^\infty {\rm Sym}^k (V^\vee) = k[x_0, \dots, x_n].$$ Este anillo se clasifican por el grado de los polinomios, y el anillo de la multiplicación es el natural mulplication de polinomios.
Los puntos en ${\rm Proj} \left( \oplus_{k=0}^\infty {\rm Sym}^k (V^\vee) \right)$ corresponden a la homogénea primer ideales de $k[x_0, \dots, x_n]$ que no contienen todos los elementos de la "irrelevante ideal" $(x_0, \dots, x_n)$. Una línea de $l \subseteq V$ es un punto cerrado en el esquema de ${\rm Proj} \left( \oplus_{k=0}^\infty {\rm Sym}^k (V^\vee) \right)$: corresponde a un homogénea primer ideal que es máxima en la clase de homogénea primer ideales descritas.
Por ejemplo, la línea de $$ l = \{ (t, c_1t, c_2t, \dots, c_n t) : t \in k \} \subset V,$$ corresponde a la homogénea primer ideal, $$ \mathfrak p = (x_1 - c_1 x_0, \ x_2 - c_2 x_0, \ \dots, \ x_n - c_n x_0).$$ Esta $\mathfrak p$ es simplemente el ideal generado por los polinomios homogéneos de fuga en la línea de $l$.
