Calcular $\| T \|$ % norma $\| \cdot \| := \max_{j=1,\ldots,n} (|\cdot_j|)$

Question

Deje $A \colon = [\alpha_{ij}]_{m\times n}$ una $m \times n$ matriz de números reales.

Deje $\mathbb{R}^n$ ser la normativa espacio de todos ordenó $n$-tuplas de números reales con la norma define de la siguiente manera: $$\Vert x \Vert_{\mathbb{R}^n} \colon= \max_{j=1, \ldots, n} \left( \vert \xi_j \vert \right) \ \ \ \forall x \colon= (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n.$$

Deje $\mathbb{R}^m$ ser la normativa espacio de todos ordenó $m$-tuplas de números reales con la norma define de la siguiente manera: $$\Vert y \Vert_{\mathbb{R}^m} \colon= \max_{i=1, \ldots, m} \left( \vert \eta_i \vert \right) \ \ \ \forall y \colon= (\eta_1, \ldots, \eta_m) \in \mathbb{R}^m.$$

Deje que el operador $T \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ se define como $$T(x) \colon= Ax \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}^n;$$ donde $x$ $y$ son para ser escrito como vectores columna y $Ax$ denota la costumbre de la matriz producto. Por supuesto, $T$ es lineal.

¿Qué es $\Vert T \Vert$?

Aquí estamos utilizando la siguiente definición para $\Vert T \Vert$: $$\Vert T \Vert \colon= \sup \left\{ \ \frac{\Vert T(x)\vert_{\mathbb{R}^m}}{\Vert x \Vert_{\mathbb{R}^n}} \ \colon \ x \in \mathbb{R}^n, \ x \neq \theta_{\mathbb{R}^n} \ \right\}. $$ Aquí $\theta_{\mathbb{R}^n} $ denota el vector cero en $\mathbb{R}^n$.

Mi esfuerzo:

Para cualquier $x \colon= (\xi_1, \ldots, \xi_n ) \in \mathbb{R}^n$, tenemos \begin{eqnarray*} \Vert T(x) \Vert_{\mathbb{R}^m} &=& \max_{i=1, \ldots, m} \left( \left\vert \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \xi_j \right\vert \right) \\ & \leq & \max_{i=1, \ldots, m} \left( \sum_{j=1}^n \vert \alpha_{ij} \xi_j \vert \right) \\ &=& \max_{i=1, \ldots, m} \left( \sum_{j=1}^n \left( \vert \alpha_{ij} \vert \cdot \vert \xi_j \vert \right) \right) \\ &\leq & \Vert x \Vert_{\mathbb{R}^n} \cdot \max_{i=1, \ldots, m} \left( \sum_{j=1}^n \vert \alpha_{ij} \vert \right). \end{eqnarray*} Si $x$ no es el vector cero, entonces a deviding por la norma de $x$ y, a continuación, tomar el supremum de la cantidad en el lado izquierdo, se obtiene $$\Vert T \Vert \leq \max_{i=1, \ldots, m} \left( \sum_{j=1}^n \vert \alpha_{ij} \vert \right). $$

Cómo mostrar que $$\Vert T \Vert = \max_{i=1, \ldots, m} \left( \sum_{j=1}^n \vert \alpha_{ij} \vert \right)? $$

Answer 1

Basta para mostrar que al menos un $x$ $|x|{\mathbb{R}^n}=1$ alcanza el límite específico. Que $$i^*=arg\max{i=1,2,\ldots,m}\sum{j=1}^n{|a{ij}|}$ $ es decir $i^$ es el índice de la fila de $A$ con la mayor suma de valores absolutos de sus elementos. Entonces, si seleccionamos $\xij=sign(a{i^j}$) tenemos que $|x|{\mathbb{R}^n}=1$ y %#% $ de #% así el % de vector $$\bigg|\sum{j=1}^{n}{a_{i^j}\xij}\bigg|=\sum{j=1}^n{|a_{i^j}|}=\max{i=1,2,\ldots,m}\sum{j=1}^n{|a{ij}|}$alcanza su límite y por lo tanto $x^*:=[sign(a{i^1}),\ldots,sign(a_{i^n})]^T$ es la norma de matriz inducida.