Si$\arcsin x+\arcsin y+\arcsin z=\pi$, entonces demuestre que$(x,y,z>0)x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}=2xyz$

Question

Si$\arcsin x+\arcsin y+\arcsin z=\pi$, entonces demuestre que$(x,y,z>0)$
$x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}=2xyz$

---

$\arcsin x+\arcsin y+\arcsin z=\pi$,
$\arcsin x+\arcsin y=\pi-\arcsin z$
$\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})=\pi-\arcsin z$
$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=z$
Similar,$y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-y^2}=x$
Similar,$x\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=y$
Sumando las tres ecuaciones, obtenemos
$x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}=\frac{x+y+z}{2}$

Estoy atrapado aquí, por favor ayúdame. Gracias.

Answer 1

Deje$\sin^{-1}(x) = A\Rightarrow x=\sin A$ y$\sin^{-1}(y)=B\Rightarrow y=\sin (B)$

y$\sin^{-1}(z)=C\Rightarrow z=\sin C$

Así que arriba hemos dado$A+B+C = \pi$

Ahora tenemos que probar$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$

Así que para$\bf{L.H.S}$

PS

PS

PS

PS

PS

Answer 2

Sugerencia:

Escribir

$$x = \sin X \qquad y = \sin Y \qquad z = \sin Z$$

Donde $X + Y + Z = \pi$ (significado que ésos son los ángulos de un triángulo).

Answer 3

Todo lo que necesitamos para facilitar el análisis es el doble del ángulo de la fórmula

$$\sin(2a)=2\sin(a)\,\cos(a) \tag 1$$

el Prosthaphareis Identidad

$$\cos (a-b)-\cos(a+b)=2\sin (a)\,\sin (b) \tag 2$$

junto con la Inversa Prosthaphareis Identidad

$$\sin (a)+\sin (b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\,\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \tag 3$$

A continuación, dejar $x=\sin \alpha$, $y=\sin \beta$, y $z=\sin \gamma$ da

$$\alpha +\beta +\gamma = \pi \tag 4$$

Ahora deseamos transformar la función de $F(\alpha,\beta,\gamma)$ dado por

$$\begin{align} F(\alpha,\beta,\gamma)&=\frac12 \sin (2\alpha)+\frac12 \sin (2\beta)+\frac12 \sin (2\gamma) \tag 5\\\\ &=x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2} \end{align}$$

En primer lugar, el uso de $(1)$ con $a=2\gamma$, $(3)$ con $a=2\alpha$$b=2\beta$, e $(4)$ escribir $(5)$

$$\begin{align} F(\alpha,\beta,\gamma)&=\sin(\alpha+\beta)\,\cos(\alpha-\beta)+\sin(\gamma)\,\cos (\gamma) \\\\ &=\sin(\pi-\gamma)\,\cos(\alpha-\beta)+\sin(\gamma)\,\cos (\pi-\alpha-\beta) \end{align}$$

Siguiente, sustituyendo $(4)$ a $(6)$ y recordando que $\sin (\pi -a)=\sin(a)$ $\cos (\pi-a)=-\cos(a)$ revela

$$F(\alpha,\beta,\gamma)=\sin(\gamma)\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)\right) \tag 7$$

Por último, el uso de $(2)$ $(7)$ rendimientos

$$\begin{align} F(\alpha,\beta,\gamma)&=\sin(\gamma)\left(2\sin(\alpha)\,\sin(\beta)\right)\\\ &=2\sin(\alpha)\,\sin(\beta)\,\sin)\gamma)\\\\ &=2xyz \end{align}$$

Por lo tanto, obtenemos la identidad

$$x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}=2xyz$$

como iba a ser mostrado!