Extensión de campo algebraico de campo finito

Question

Tengo una pregunta sobre extensiones de campos finitos sobre campos finitos $\mathbb{F}_p$ con la característica $p > 0$ :

Es bien sabido por el álgebra que toda extensión de campo finito $\mathbb{F} \ | \ \mathbb{F}_p$ es exactamente el campo $\mathbb{F}_q$ donde $q= p^n$ para $n=[\mathbb{F} \ | \ \mathbb{F}_p]$ o en otras palabras $\mathbb{F}$ es el campo de división del polinomio $X^q-X$ .

Además $\mathbb{F}$ tiene un grupo de Galois isomorfo al grupo cíclico $\mathbb{Z}/n$ con generador $\sigma: a \to a^p$ .

Mis preguntas:

1. es lo que ocurre con la ampliación del campo $\mathbb{F}_p(\zeta_n) \ | \ \mathbb{F}_p$ donde $p \nmid n$ y $\zeta_n$ es la n-ésima raíz primitiva?

Obviamente aquí $\mathbb{F}_p(\zeta_n)$ es el campo de división de $X^n-1$ sino porque $n \neq p^r$ asumiendo que esto contradice las consideraciones anteriores, ¿no es así?

2. Qué grupo de Galois $Gal(\mathbb{F}_p(\zeta_n) \ | \ \mathbb{F}_p)$ tiene $\mathbb{F}_p(\zeta_n)$ ¿y por qué?

Answer 1

El grupo multiplicativo de un campo $\mathbb{F}_q$ es cíclico de orden $q-1$ . Así que para $p\nmid n$ hay una primitiva $n$ raíz de la unidad en $\mathbb{F}_q$ si $n$ divide $q-1$ . Esto significa que $\mathbb{F}_p(\zeta_n)$ es sólo $\mathbb{F}_q$ donde $q$ es la menor potencia de $p$ tal que $n$ divide $q-1$ . Si $q=p^r$ su grupo de Galois es entonces cíclico de orden $r$ . (Este $r$ también puede describirse como el menos $r>0$ tal que $p^r$ es $1$ mod $n$ es decir, el orden multiplicativo de $p$ mod $n$ .)

Obviamente aquí $\mathbb{F}_p(\zeta_n)$ es el campo de división de $X^n-X$ sino porque $n \neq p^r$ asumiendo que esto contradice las consideraciones anteriores, ¿no es así?

Esto no es una contradicción. Una extensión de campo puede ser el campo de división de muchos polinomios diferentes. Toda extensión finita de $\mathbb{F}_p$ es el campo de división de un polinomio de la forma $X^{p^r}-X$ , pero también pueden describirse como campos de división de polinomios que tienen formas diferentes.

Answer 2

El polinomio $X^n-X$ no es irreducible sobre $\mathbb{F}_p$ hay que encontrar el polinomio mínimo de $\zeta_p$ para determinar el grado de extensión.