Existencia de una función holomorfa

Question

Existe una función $f(z)$ holomorfa en $\mathbb{C}\backslash{0}$, que

$$\left|f(z)\right|\geq\frac{1}{\sqrt{\left|z\right|}}$$

para todos los $z\in\mathbb{C}\backslash{0}?$

No estoy muy seguro de cómo proceder o qué particular teoremas debo mirar.

Answer 1

Se ha llegado al punto en que las ideas principales de una solución ya han aparecido en los comentarios, así que se me ocurrió una respuesta recopilación de algunas de estas podría ser publicado.

Supongamos que tal $f$ existe. Definir $h(z)=1/f(z)$$z\neq 0$, e $h(0)=0$. Como Pierre-Yves Gaillard comentó, $h$ tiene la forma $h(z)=zg(z)$ para algunos toda la $g$. Reorganización de la desigualdad original en términos de $g$ muestra que $g(z)\to 0$$z\to \infty$, y tengo la fuerte sospecha de que usted ha visto un teorema que le dirá lo posible la totalidad de las funciones de ir a $0$ en el infinito.

Answer 2

Voy a aclarar mi comentario.

Deje $g(z)=\frac{1}{f(z)}$. Desde $|f(z)|\ge\sqrt{|z|}$, $f(z)\neq 0$ en $\mathbb{C}\backslash \{0\}$. Por lo tanto, $g(z)$ es holomorphic en $\mathbb{C}\backslash \{0\}$. Además, $|g(z)|=\left|\frac{1}{f(z)}\right|\le\sqrt{|z|}$, lo $\lim_{z\to 0}\;g(z)=0$. Por lo tanto, $g(z)$ tiene una singularidad removible en $0$, y por lo $g(z)$ es todo con $g(0)=0$.

Por Cauchy de la Integral de la Fórmula, $$ g'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{g(w)\;\mathrm{d}w}{(w-z)^2} $$ Donde $\gamma$ es cualquier curva rodeando $z$ una vez a la izquierda. Deje $\gamma$ ser un círculo de radio $R+|z|$ centrada en el origen. Entonces $$ |g'(z)|\le\frac{1}{2\pi}\frac{\sqrt{R+|z|}\;2\pi(R+|z|)}{R^2} $$ Desde $R$ es arbitrario, tenemos que $g'(z)=0$ para todos los z. Desde $g(0)=0$, obtenemos que $g(z)=0$ todos los $z\in\mathbb{C}$. Por lo tanto, no puede ser no$f$, de modo que $\frac{1}{f(z)}=g(z)$.