$\int_0^{2\pi}e^{\cos x}\cos(\sin x)dx$

Question

$$\int_0^{2\pi}e^{\cos x}\cos(\sin x)dx$$

Intenté la integración por partes pero fracasé. Wolfram alpha da la respuesta en decimales que son los mismos que los de $2\pi$ . Cualquier consejo o sugerencia será útil.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$e^{\cos x}\cos (\sin x) = \operatorname{Re} \left(e^{\cos x}(\cos (\sin x) + i \sin (\sin x))\right) = \operatorname{Re} e^{\cos x + i \sin x}.$$

Así que podemos transformar la integral en una integral de contorno estándar sobre el círculo unitario escribiendo $z = e^{ix}$ , lo que nos da $dx = \frac{dz}{iz}$ y la integral se convierte en

$$\operatorname{Re} \int_{\lvert z\rvert = 1} \frac{e^z}{iz}\,dz = \operatorname{Re} \frac{2\pi i e^0}{i} = 2\pi$$

por la fórmula integral de Cauchy.