Que $x^2 = 7 + 13y^2$ no tiene soluciones del número entero

Question

Esta es una pregunta estoy intentando. Se nos pide el uso de Fermat Poco Teorema para demostrar que $x^2 = 7 + 13y^2$ no tiene ningún entero de soluciones.

Mi intento: Elegí trabajar en el modulo 13. El uso de Fermat Poco Teorema, llego $x^{12}=1(mod13)$ y a partir de la pregunta conseguí $x^2=7(mod13)$ e $7=-6(mod13)$. Creo que tengo que llegar a algún lugar de esos que tengo, $x^2=a(mod13)$ para algunos $a$ y, a continuación, observe cómo este no tiene soluciones, pero estoy ni seguro de cómo hacerlo, ni de si esto implica que no hay ningún número entero soluciones para $x$ e $y$?

Claro que estoy luchando con esta prueba, y agradecería cualquier direcciones.

Gracias

Answer 1

Su enfoque es bueno. Como han señalado, trabajo modulo <span class="math-container">$13$</span> muestra que si una solución existe entonces <span class="math-container">%#% $ de #%</span> esto implica que el <span class="math-container">$$x^2\equiv7\pmod{13}.$</span> por el pequeño Teorema de Fermat. Ahora es suficiente para comprobar <span class="math-container">$7^6\equiv x^{12}\equiv1\pmod{13}$ $</span> para llegar a una contradicción. Esto le permite concluir que no hay solución existe.