¿$f(f(x)) = x \Rightarrow f$ Se aplica bijective?

Question

Por lo que recuerdo, una función inversa para alguna función$f$ existe si existe una función inversa.

Por lo tanto, ¿puedo seguir desde$f(f(x)) = x$ ($f$ es su propia función inversa) para alguna función$f$ que es biyectivo sin probar que es inyectivo y sugestivo?

Ejemplo:

$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ f(x) = 5 - x$

Answer 1

Esto depende del dominio y el codominio elegidos para la función. Por ejemplo, supongamos que$f : \Bbb{R} \to \Bbb{C}$ está definido por$f(x) = x$. Entonces$f(f(x)) = x$ por cada$x \in \Bbb{R}$, pero$f$ no es una bijección ya que ciertamente no es una suposición. Sin embargo, puede decir que si$x \neq y$ está en el dominio de$f$, entonces$f(x) \neq f(y)$, ya que de lo contrario$f(f(x)) = f(f(y)) \implies x = y$.

Answer 2

Puesto que f(f(x)) existe, esto implica que f(x) debe estar en el dominio de f (cosa que no podemos formulario de $f(f(x))$. Así que f debe asignar un conjunto a de la misma, es decir,$f:A \rightarrow A$. Ejemplos de utilización de decir R y C son, por tanto, no es válido: el dominio de f es R o C, en este caso tendrás $f: R \rightarrow C$ $F: C \rightarrow R$ $f = F|_R$ (es decir, f es $F$ restringido a R) y, a continuación,$F(f(x)) = x$.

En general si $f:A \to B$$F:B \to A$$f = F \implies B = A$, y aquí $f = F$ es implícita por $f(f(x)) = x$.

Así que con esa comprensión, entonces f es un bijection.

1. f debe ser en (surjective) ya que para todos $x \in A$ $f(x) $ se define (en virtud de la comprensión normal) y $=x$, así que para todos los $x \in A$ existe $x \in A$ tal que $x = f(x)$
2. f debe ser en (inyectiva) como $f(y) = y$ así que si $f(x) = f(y)$$x = y$.

Answer 3

Suponiendo que $f: A \to A$...

Si $f \circ g$ es biyectiva, entonces $f$ es sobreyectiva y $g$ es inyectiva. Aquí, $f \circ f$ es una biyectiva (de hecho es la asignación de identidad), así $f$ es sobreyectiva y $f$ es inyectiva. Por lo tanto, $f$ es biyectiva.

Answer 4

La propiedad inversa de uno mismo implica inyectabilidad pero no suprayectividad.

Answer 5

$f$ es inyectiva, porque si $f(x)=f(y)$, entonces el $x=f(f(x))=f(f(y))=y$.

$f$ es sobreyectiva porque cada $x$ es la imagen de algunos $y$, es decir, $f(f(x))=x$ (siempre que la imagen es el mismo sistema que el dominio).

Así que... sí.