Encuentre la función $f(x)$ si $f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)$

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal $f(x)$ en $x=0$ continua, y para cualquier $x,y\in \mathbb{R}$ tal $$f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)$$ Encuentre $f(x)$ .

Dejemos que $x=0,y=0$ entonces tenemos $$2f(2f(0))=f(0)++f(0)$$ Dejemos que $y=2f(0)$ entonces tenemos $$f(x+2f(2f(0))=f(x)+2f(0)+f(2f(0))$$ por lo que tenemos $$f(x+4f(0))=f(x)+4f(0)$$ por otro lado tenemos $$f(x+4f(0))=f(x+2f(0))+0+f(0)=2f(0)+f(x)$$ por lo que tenemos $f(0)=0$ Entonces no puedo lidiar con este problema

Answer 1

Sustituir $x\mapsto y$ para conseguir $$ f(y+2f(y))=y+2f(y). $$ Ahora sustituye $y\mapsto y+2f(y)$ : $$ f(x+2f(y+2f(y)))=f(x)+y+2f(y)+f(y+2f(y)). $$ Así, $$ f(x+2y+4f(y))=f(x)+2y+4f(y). $$ Sustituyendo $x\mapsto x+2y+2f(y)$ , $$ f(x+2y+4f(y))=f(x+2y+2f(y))+y+f(y). $$ Sustituyendo $x\mapsto x+2y$ , $$ f(x+2y+2f(y))=f(x+2y)+y+f(y). $$ Combinando las 3 últimas ecuaciones, $$ f(x+2y)=f(x)+2f(y). $$ Así, $$ f(x)=f(0+2x/2)=f(0)+2f(x/2)=2f(x/2), $$ así que $$ f(x+y)=f(x+2y/2)=f(x)+2f(y/2)=f(x)+f(y). $$ Ya que se da que $f$ es continua en $0$ debe ser continua en todas partes. Ahora hay un argumento estándar para demostrar que $f(x)=f(1)x$ (demostrarlo en los racionales y extenderlo por continuidad). Finalmente, utilizando la ecuación original, vemos $f(1)=1$ o $-\frac12$ por lo que las soluciones son $f(x)=x$ o $f(x)=-x/2$ .

Answer 2

Configurar $x=y$ da $f(x+2f(x))=x+2f(x)$ y así $f(y)=y$ siempre que $y$ es de la forma $x+2f(x)$ para algunos $x$ . Tenga en cuenta también que si $f(y)=y$ entonces para cualquier $x$ , $f(x+2y)=f(x)+2y$ .

Consideremos ahora la función $g(x)=f(x)-x$ . Del párrafo anterior se desprende que si $f(y)=y$ entonces $g(x+2y)=g(x)$ . En particular, todo número de la forma $2x+4f(x)$ es un periodo de $g$ . Sea $P\subseteq\mathbb{R}$ sea el grupo de períodos de $g$ es decir, el conjunto de $p$ tal que $g(x)=g(x+p)$ para todos $x$ . Ahora hay dos casos.

El primer caso es que $P$ no es cíclico. Entonces $P$ es denso en $\mathbb{R}$ y así cada coset de $P$ es denso en $\mathbb{R}$ y en particular $0$ está en el cierre de cada coset. Pero por definición de $P$ , $g$ es constante en cada coset de $P$ por lo que por continuidad de $g$ en $0$ este valor constante debe ser igual a $g(0)$ . Así, $g(x)=g(0)$ para todos $x$ y $g$ es constante en todas partes. Así, $f(x)$ tiene la forma $f(x)=x+c$ para alguna constante $c$ . Introduciendo esto en la ecuación funcional se obtiene $$x+2(y+c)+c=x+c+y+y+c,$$ así que $c=0$ . Así, $f(x)=x$ .

El segundo caso es que $P$ es cíclico, generado por algún $p\in\mathbb{R}$ (posiblemente $0$ ). Entonces todo número de la forma $2x+4f(x)$ es un múltiplo entero de $p$ . Pero $2x+4f(x)$ es continua en $0$ Esto significa que $2x+4f(x)$ es constante en una vecindad de $0$ . Como ha demostrado, $f(0)=0$ Así que $2x+4f(x)=0$ para todos $x$ en algún barrio de $0$ Así que $f(x)=-x/2$ para todos $x$ en algún barrio de $0$ .

Supongamos ahora que $\epsilon>0$ es tal que $f(x)=-x/2$ siempre que $|x|\leq\epsilon$ . Si $0\leq a\leq \epsilon$ la ecuación funcional con $x=a$ y $y=-\epsilon$ entonces da $$f(a+\epsilon)=-\frac{a+\epsilon}{2}.$$ Eso es, $f(x)=-x/2$ también es válido si $\epsilon\leq x\leq 2\epsilon$ . Del mismo modo, utilizando $y=\epsilon$ da que $f(x)=-x/2$ también es válido si $-2\epsilon\leq x\leq -\epsilon$ .

Es decir, si $f(x)=-x/2$ siempre que $|x|\leq\epsilon$ , $f(x)=-x/2$ siempre que $|x|\leq 2\epsilon$ también. Repitiendo este argumento una y otra vez, obtenemos que $f(x)=-x/2$ para todos $x$ .

Por lo tanto, las únicas posibilidades de $f$ son $f(x)=x$ y $f(x)=-x/2$ y puedes comprobar fácilmente que ambos funcionan.