¿Existe un anillo noetheriano no artiniano cuyas no unidades sean divisores de cero?

Question

¿Existe un anillo noetheriano no artiniano cuyas no unidades sean divisores de cero?

Formulación equivalente:

¿Existe un anillo noetheriano de dimensión positiva cuyas no unidades sean divisores de cero?

En esta entrada, "anillo" significa "anillo conmutativo con uno", y "dimensión" significa "dimensión de Krull"].

Esta es la motivación:

Dejemos que $A$ sea un anillo cuyos no unidades son divisores de cero.

Si $A$ es no noetheriano, entonces $A$ puede tener una dimensión positiva: véase esta respuesta del usuario18119.

Si $A$ es noetheriano y reducido entonces $\dim A\le0$ : ver esta respuesta del usuario26857.

Recordemos que un anillo noetheriano es artiniano si y sólo si su dimensión es $\le0$ . Recordemos también que un anillo tiene la propiedad de que sus no unidades son divisores de cero si y sólo si es isomorfo a su anillo total de fracciones].

Answer 1

Sí. Ejemplo: Sea B = K[[X]], siendo K un campo. Sea M = B/(X), el módulo de residuos. Sea A = B \oplus M, con producto natural sobre B, acción de B sobre M y a^2 = 0, todo a \in M. Entonces A es claramente noetheriano, Dim A = 1 y por lo tanto no es artiniano. Las no unidades de A son N = (X) \oplus M. Cualquier elemento de N por cualquier elemento de M es 0

Answer 2

Esta es una respuesta de la wiki comunitaria cuyo propósito es reformular la hermosa respuesta de R. C. Cowsik con una notación ligeramente diferente.

He aquí un ejemplo de un anillo noetheriano no arteniano $A$ cuyas no unidades son divisores de cero.

Dejemos que $K$ sea un campo, $X$ un indeterminado, y $A$ el grupo aditivo $K[[X]]\times K$ . Se comprueba que la fórmula $$ (f,\lambda)(g,\mu)=(fg,\lambda g(0)+\mu f(0)) $$ define en $A$ una estructura de anillo conmutativo con uno. [Ver esta respuesta del usuario26857 para una generalización de esta construcción].

Se verifica que $A$ es noetheriano, que $A$ tiene exactamente dos ideales primos, a saber $\mathfrak p:=(0)\times K$ y $\mathfrak m:=(X)\times K$ que satisfagan $\mathfrak p\subset\mathfrak m$ y que tenemos $(f,\lambda)(0,1)=(0,0)$ para todos $(f,\lambda)\in\mathfrak m$ .

Esto demuestra que $A$ es, en efecto, un anillo noeteriano no artiniano cuyos no unidades son divisores de cero.