Demostrar que hay $\operatorname{lcm}[a_{k},a_{k+1}]>ck$

Question

Dejemos que $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ enteros positivos distintos . $0<c<\dfrac{3}{2}$

Demuestra eso:

existen infinitos enteros positivos $k$ tal $$\operatorname{lcm}[a_{k},a_{k+1}]>ck$$

De: 2015 China TsT :

Answer 1

Este fondo del problema y la solución pueden ver

Baidu tieba

La clave es $$\dfrac{1}{[a_{i},a_{i+1}]}\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a_{i}}+\dfrac{1}{a_{i+1}}\right)$$

Answer 2

He aquí una solución parcial, que muestra que es cierto para $c = 1$ .

Quiere demostrar que $lcm[a_{k},a_{k+1}]>ck$ infinitamente a menudo.

Desde el $a_k$ son distintos, $max(a_k)_{k=1}^n \ge n$ .

Dejemos que $a_n$ sea tal que $a_n = max(a_k)_{k=1}^n$ . Hay un número infinito de estos, ya que el $a_n$ son enteros positivos distintos. Para estos $a_n$ , $a_n \ge n$ .

Desde $lcm(a, b) \ge max(a, b)$ , $lcm(a_{n-1}, a_n) \ge max(a_{n-1}, a_n) \ge a_n \ge n$ .

Ahora mismo, no veo cómo empujar $c > 1$ . Si pudiéramos elegir un $a_{n-1}$ que no divide uno de estos extremos $a_n$ infinitamente a menudo, parece que contamos obtuviera un número ilimitado de $c$ , tal vez.