Extensión Abelian de un campo de número algébrico, cuyo grupo de Galois es isomorfo a un grupo abelian finito dado

Question

Deje $K$ ser una expresión algebraica campo de número, es decir, de un número finito de extensión de $\mathbb{Q}$. Deje $G$ ser un número finito de abelian grupo. ¿Existe un Galois de la extensión de $K$ cuyo grupo de Galois es isomorfo a $G$? Puedo probar esto si $K$ $\mathbb{Q}$ mediante un caso especial de Dirichlet del teorema de los números primos, es decir, hay infinitos números primos $p$ tal que $p \equiv 1$ (mod $n$) para un entero dado $n \ge 1$. Así que si $|G|$ es relativamente primer a $[K: \mathbb{Q}]$, existe como una extensión, pero no tengo idea de lo contrario.

Answer 1

Advertencia: un borrador incompleto

Deje $m=[K:\Bbb{Q}]$. Por la estructura teorema de finito abelian grupos existe enteros $d_1\mid d_2\mid \cdots\mid d_k$ tal que $$ G\cong C_{d_1}\times C_{d_2}\times \cdots\times C_{d_k}. $$ Elegir distintos números primos $p_1,p_2,\ldots,p_k$ tal que $p_i\equiv1\pmod{md_i}$. Deje $\zeta_i$ ser un complejo de raíz primitiva de la unidad de la orden de $p_i$. Considere la posibilidad de extender $K(\zeta_i)/K$. Como una división de campo de un cyclotomic polinomio $K(\zeta_i)$ es de Galois sobre $K$. Porque cualquier $K$-automorphism de $K(\zeta_i)$ está determinado por la imagen de $\zeta_i$, el grupo de $Gal(K(\zeta_i)/K)$ es isomorfo a un subgrupo $G_i$ $Gal(\Bbb{Q}(\zeta_i)/\Bbb{Q})\cong C_{p_i-1}.$ El grado de la extensión $$ [K(\zeta_i):K]=\frac{[K(\zeta_i):\Bbb{Q}]}{[K:\Bbb{Q}]}= \frac{[K(\zeta_i):\Bbb{Q}(\zeta_i)]\cdot(p_i-1)}{m} $$ es un múltiplo de a $d_i$. Por lo tanto,$d_i\mid |G_i|$. Esto implica que hay un intermedio de campo $K_i, K\subseteq K_i\subseteq K(\zeta_i)$ tal que $K_i/K$ es cíclico de orden $d_i$.

Si podemos mostrar que las extensiones $K_i/K$ son linealmente disjuntos, entonces llegaremos a la conclusión de que su compositum $\tilde{K}=K_1K_2\cdots K_k$ es una extensión de Galois con $Gal(\tilde{K}/K)\cong G$. Al principio me sentí que esto se sigue inmediatamente del hecho de que las extensiones $\Bbb{Q}(\zeta_i)/\Bbb{Q}, i=1,2,\ldots,$ son linealmente disjuntos sobre los racionales. Por desgracia no puedo justificar esto por el momento. Dejando esto como incompleta por ahora.

Answer 2

Sí, existe. Adjunto primero una raíz de la unidad de grado suficientemente grande, para obtener una extensión de ciclotómicas. El grupo de Galois será cíclico. Todos los campos intermedios serán Galois y ahora tratan de arreglar este campo intermedio para ser isomorfo al grupo que desee.