Triángulo equilátero en un círculo

Question

Supongamos que tienes un círculo y considerar tres discontinuo $60$ grado arcos $A,B,C$ en el círculo. (me.e los arcos $A,B,C$ están separadas por tres arcos de $x,y,z$ ($x+y+z=180$ grados y $x,y,z>0$)). Ahora, tome los acordes en $x,y,z$. Llamarlos $X,Y,Z$ respectivamente. Demostrar que el triángulo que tiene sus vértices en los puntos medios de $X,Y,Z$ es un triángulo equilátero.

Answer 1

Usted tiene tres puntos de $x,y,z$ sobre el círculo unidad, y sus imágenes en un $60°$ rotación, que es la multiplicación por $\omega=e^{\frac{2i\pi}{6}}$. Los tres puntos son $$m=\frac{z+\omega y}{2},\quad, m'=\frac{x+\omega z}{2},\quad m''=\frac{y+\omega x}{2}$$ y la demanda es que se forma un triángulo equilátero, es decir, los tres lados $$\begin{eqnarray} m'-m&=\frac{x-z}{2}+\omega\,\frac{z-y}{2}\\ m''-m'&=\frac{y-x}{2}+\omega\,\frac{x-z}{2}\\ m-m''&=\frac{z-y}{2}+\omega\,\frac{y-x}{2} \end{eqnarray}$$ tienen el mismo módulo. Pero son de la forma $$\begin{eqnarray} A+\omega B\\ C+\omega A\\ B+\omega C \end{eqnarray}$$ con $A+B+C=0$, y por lo tanto deben tener el mismo módulo. De hecho, $$|A+\omega B|=|-(B+C)+\omega B|=|(1-\omega)B+C|=|B+\omega C|$$ desde $1-\omega=\overline{\omega}=\omega^{-1}$$|\omega|=1$. La otra igualdad se deriva del mismo modo. Por lo tanto $$|m'-m|=|m''-m'|=|m-m''|$$ y el triángulo es equilátero.

Answer 2

Se puede hacer (incluso si es que no se debe hacer!) por un descerebrado de cálculo.

Si $\alpha$ es una raíz cúbica de a $-1$, otros de $-1$, $1 - \alpha + \alpha^2 = 0.$

Deje $u, v, w$ ser tres números complejos. \begin{gather*} 0 = (1 - \alpha + \alpha^2)u = (1 - \alpha + \alpha^2)w \\ \therefore\ (-1 - \alpha^2)w + \alpha^2u + v = \alpha{u} + v - (\alpha{w} + u) \\ \text{i.e. } \alpha^2[(\alpha - 1)w +(u - \alpha{v})] = (\alpha{u} + v) - (\alpha{w} + u) \\ \text{i.e. } \alpha^2[(\alpha{w} + u) - (\alpha{v} + w)] = (\alpha{u} + v) - (\alpha{w} + u) \\ \end{reunir*}

Dividiendo por 2, y teniendo en $\alpha = (1 + \sqrt{3}i)/2$, por lo que los comienzos y finales de las tres de 60 grados arcos del círculo unitario en el plano complejo están representados por $u$, $\alpha{u}$, $v$, $\alpha{v}$, $w$, $\alpha{w}$, vemos que los números complejos representación de la orientada a los segmentos de línea uniendo los puntos medios $(\alpha{w} + u)/2$, $(\alpha{u} + v)/2$, $(\alpha{v} + w)/2$, son iguales a $\alpha^2$ veces el precedente en orden cíclico, es decir, que forman un triángulo equilátero.

Disjointness no parece para jugar en cualquier parte, siempre y cuando el 6 estaciones en el orden correcto.