Un límite en las dimensiones de ciertos tipos de subespacios

Question

Deje $V$ ser $4$-dimensional espacio vectorial sobre los números complejos, y deje $S$ ser un subespacio de la endomorphisms de $V$ tales que los elementos de la $S$ viaje.

Si existe un elemento en $S$ que tiene al menos dos autovalores, es la dimensión de la $S$ en la mayoría de las $4$? Si es así (o si no), ¿por qué?

Un ejemplo de un subespacio de dimensión $5$ que no tiene un elemento con al menos dos autovalores de a es el conjunto de matrices de la forma $$\left(\begin{matrix} a & 0 & c & d \\ 0 & a & e & f \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{de la matriz}\right) .$$

Answer 1

Por un viejo teorema de Schur (ver esta simple prueba en un papel por la tarde gran Maryam Mirzakhani), el número máximo de las linealmente independientes lineal endomorphisms de $\mathbb{C}^n$ es $N(n) = \lfloor n^2/4 \rfloor + 1$. Su ejemplo se da a la dimensión máxima $N(4)=5$. Sin embargo, si algunos matriz $A \in S$ tiene dos autovalores, a continuación, $S$ será reducible, ya que cada matriz en $S$ tiene estas diferentes subespacios propios de a$A$ como subespacios invariantes. Para $n<4$, uno siempre tiene $N(n) = n$, por lo que la dimensión máxima en este caso es de $4$.