Secuencia tal que cada subsequence puede tener un diferente límite real

Question

¿Me gustaría encontrar una secuencia de números verdaderos <span class="math-container">$(an){n\in\mathbb{N}}$</span> con esta propiedad: para cualquier <span class="math-container">$L\in\mathbb{R}$</span> allí es un subsequence <span class="math-container">$a_{kn}$</span> , que <span class="math-container">$$\lim{n\to\infty} a_{k_n} = L$ $</span> no existe tal secuencia?

Answer 1

Acaba de organizar el conjunto de los números racionales en una secuencia $\{a_n\}$. Dado cualquier número real $L$ y cualquier entero positivo $n$ hay infinitamente muchos racionales en $(L-\frac 1 n, L+\frac 1 n)$. Pick $a_{n_1}$ en este intervalo de con $n=1$. A continuación, considere el caso en $n=2$. Usted seguramente puede encontrar $n_2 >n_1$ tal que $a_{n_2} \in (L-\frac 1 2, L+\frac 1 2)$. El uso de la inducción para la construcción de un subsequence $a_{n_k}$ tal que $|a_{n_k}-L| <\frac 1 k$ para todos los $k$. A continuación, $a_{n_k} \to L$.

Answer 2

Tome la secuencia que barren el intervalo <span class="math-container">$[-1,1]$</span> <span class="math-container">$1/2$</span> los pasos, entonces el intervalo <span class="math-container">$[-2,2]$</span> <span class="math-container">$1/2^2$</span> los pasos, entonces el intervalo de <span class="math-container">$[-n,n]$</span> <span class="math-container">$1/2^n$</span> los pasos... y así sucesivamente.

Usted será capaz de demostrar que cada real es un punto límite de esa secuencia.

Answer 3

Frase:

Considere la posibilidad de $a_n$, $n=1,2,3,3,....,$ la secuencia de los números racionales. Recordemos que $\mathbb{Q}$ es contable, por lo tanto, puede ser escrito como una secuencia $a_n$, $n\in \mathbb{N}$.

Deje $L \in \mathbb{R}$.

Desde $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, se puede construir una larga $a_{n_k}$ que converge a $L$.

Answer 4

Considere la posibilidad de un general de espacio topológico $(X, \mathscr{T})$ y una secuencia de puntos de $x \in X^{\mathbb{N}}$. Se dice que el punto de $t \in X$ es partidario de la secuencia de $x$ (algunos autores utilizan la terminología de 'cluster-point', pero no me apetece mucho) si:

$$(\forall V, n)(V \in \mathscr{V}_{\mathscr{T}}(x) \wedge n \in \mathbb{N} \implies (\exists m)(m \geqslant n\ \wedge x_m \in V ))$$

donde $\mathscr{V}_{\mathscr{T}}(x)$ simboliza el filtro de los barrios de punto de $x$ inducida por la topología $\mathscr{T}$. De una manera más descriptiva de la moda, $t$ es partidario de secuencia $x$ si cualquier barrio de $t$ contiene términos de arbitrariamente alto rango de la secuencia de $x$. Si el filtro de los barrios de $t$ admite una contables de la base, a continuación, $t$ puede ser expresado como el límite de una larga de $x$. Por lo tanto, en un espacio de satisfacer el Primer Axioma de Countability (es decir, todos los puntos tienen una contables de base de los barrios), los puntos adherentes a una determinada secuencia $x$ puede ser equivalentemente, que se caracteriza como de los límites de las subsecuencias de $x$.

Ahora, si el espacio de $X$ es no vacío y separables, fijemos un cierto subconjunto denso $T \subseteq X$. Como $X$ no está vacía, por lo que debe $T$ . No es difícil mostrar que no está vacío contables conjunto $M$ admite un surjection $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow M$ tal que para cada una de las $t \in M$ fibra $\sigma^{-1}(\{t\})$ ser infinito.

Considerar que la surjection $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow T$ y definir la secuencia de $t=(\sigma(n))_{n \in \mathbb{N}}$ (que en realidad es el gráfico de mapa de $\sigma$). La condición de la cardinalidad de las fibras se asegura de que cualquier elemento de a$x \in T$ es el límite de una (constante) subsequence de $t$. Si nosotros, además, asumir que el espacio de $(X, \mathscr{T})$ es $T_1$, ninguna de las $x \in X \setminus T$ va a ser un punto de acumulación de a$T$ y por lo tanto necesariamente adheridos a la secuencia de $t$.

Para concluir, dado un espacio topológico $(X, \mathscr{T})$ que es no vacío, separables, la primera contables e $T_1$, uno siempre puede encontrar una secuencia $t$ de los puntos en el espacio de tal manera que cada elemento de a$x \in X$ ser expresable como el límite de una larga de $t$. Esto se aplica en particular al espacio topológico $(\mathbb{R}, \mathscr{O})$, donde $\mathscr{O}$ indica el (como es habitual) el fin de la topología.