Determinante 4 x 4

Question

<span class="math-container">$A =\begin{vmatrix}a^2 & b^2 & c^2 & d^2\ (a-1)^2 & (b-1)^2 & (c-1)^2 & (d-1)^2 \ (a-2)^2 & (b-2)^2 & (c-2)^2 & (d-2)^2\ (a-3)^2 & (b-3)^2 & (c-3)^2 & (d-3)^2\end{vmatrix}$</span>

Me han estado tratando de resolver este determinante para un rato ahora y no he llegado muy lejos.

Han estado utilizando reducción de fila para tratar de crear un triángulo inferior pero mantener conseguir cogido para arriba con la cantidad de multiplicación feo involucrado y parece no encontrar una manera más fácil.

Se agradecería mucho alguna ayuda con esta pregunta.

Answer 1

@Shubham Johri : No es una simple prueba de que este determinante, o, más precisamente, de su transpuesta, es cero.

Consideremos la siguiente matriz-vector producto :

$$\begin{bmatrix} a^2 & (a-1)^2 & (a-2)^2 & (a-3)^2\\ b^2 & (b-1)^2 & (b-2)^2 & (b-3)^2\\ c^2 & (c-1)^2 & (c-2)^2 & (c-3)^2\\ d^2 & (d-1)^2 & (d-2)^2 & (d-3)^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\ \ \ 3\\-3\\ \ \ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}.$$ Así, esta matriz tiene un valor distinto de cero núcleo ; por lo tanto su determinante es igual a $0$.

Nota : no es necesario explicitate el vector con las coordenadas $-1,3,-3,1$ (han notado que utiliza los coeficientes binomiales ?) ; simplemente se podría haber dicho que un vector con $p,q,r,s$ coordenadas de existir porque en las 3 dimensiones de espacio vectorial $\mathbb{R}[X]_{deg \leq 2}$, cualquier conjunto de más de 3 vectores está necesariamente vinculado por un cero combinación lineal :

$$p X^2 + q (X-1)^2 + r (X-2)^2 + s (X-3)^2 = 0.$$

Answer 2

Utilizar transformaciones de la fila de la siguiente manera:

<span class="math-container">$R_1\to R_1-R_2\R_2\to R_2-R_3\R_3\to R_3-R_4$</span>

<span class="math-container">$=\begin{vmatrix}2a-1 & 2b-1 & 2c-1 & 2d-1\ 2a-3 & 2b-3 & 2c-3 & 2d-3 \ 2a-5 & 2b-5 & 2c-5 & 2d-5\ (a-3)^2 & (b-3)^2 & (c-3)^2 & (d-3)^2\end{vmatrix}$</span>

<span class="math-container">$R_1\to R_1-R_2\R_2\to R_2-R_3$</span>

<span class="math-container">$=\begin{vmatrix}2 & 2 & 2 & 2\ 2 & 2 & 2 & 2 \ 2a-5 & 2b-5 & 2c-5 & 2d-5\ (a-3)^2 & (b-3)^2 & (c-3)^2 & (d-3)^2\end{vmatrix}$</span>

Determinante tener filas idénticas evalúa a <span class="math-container">$0$</span>. Podría ir una milla extra y realizar <span class="math-container">$R_1\to R_1-R_2$</span> para ver por qué esto es cierto.