Cuando el cambio de variable hace un intervalo vacío.

Question

Por favor, considere el siguiente caso:

$$I = \int^1_{-1}x^2dx$$ $$u(x) = x^2 \rightarrow du = 2x\,dx$$ $$u(-1) = 1, u(1) = 1$$

Así

$$I = \int^1_1\frac{u}{2\sqrt u} du = 0$$

Obviamente, el problema aquí es considerar sólo el positivo de la raíz de la u. No sé cómo considerar tanto las raíces. Este ejemplo es trivial, pero tengo otro ejemplo donde la sustitución sería realmente útil:

$$I = \int^1_{-1}\frac{x^2(1 - x^2)^\frac{3}{2}}{3} - \frac{x^2(1 - x^2)^\frac{5}{2}}{5} - \frac{x^4(1 - x^2)^\frac{3}{2}}{3} dx$$

No quiero que resolver para mí el uso de otro método, yo sé cómo usar una integral de solver en línea. Mi pregunta es la manera correcta de hacer el cambio de variable.

Answer 1

Si bien es cierto que $du = 2x\,dx$ sobre el conjunto de la región de integración, no es cierto que la $x = \sqrt{u}$ más de la región. Esto sólo es cierto para $x > 0$, por lo que no se puede aplicar a todo integral. En su lugar, usted tiene que dividir aparte y el uso correcto de transformación de $x = -\sqrt{u}$ para la región de $x < 0$.

En general, si el cambio de las variables de $u(x)$ tiene un multivalor inversa, tendrás que dividir la integral en las regiones en donde cada uno de los posibles de la función inversa $x(u)$ se aplica.

Answer 2

En general, usted necesita usar un uno-a-uno el cambio de variable; así, por ejemplo, si se va a calcular $\int_{-1}^1 x^2 dx$ se repartiría en $\int_{-1}^0 x^2 dx + \int_0^1 x^2 dx$. Luego cada una de esas integrales, después de la sustitución y de la simplificación, se convierte en $\int_0^1 \frac{1}{2} u^{1/2} du$.

(Dicho esto, hay algunas situaciones en las que, básicamente, por la ruptura de las reglas dos veces se cancela fuera de sus errores y llegar a la respuesta correcta; ver por Qué puede el trig sub $x=\cosh(\theta)$ ser usado para resolver la integral: $\int \frac{1}{(x^2-1)^{3/2}}dx$? por ejemplo.)