Una noche, descubrí una integración de la relación. La relación que permite integrar rápidamente las plazas de funciones (e incluso más, pero voy a hablar de esto en el final).
Me preguntaba si alguien ha encontrado una fórmula como esta antes. Así que he investigado en internet, pero no podía encontrar nada como esto.
La fórmula:
$$\int f(x)^2\,dx\;=\;xf(x)^2\;-\;2f(x)\cdot F^{-1}_{(1)}(f(x))\;+\;2\,\cdot F^{-1}_{(2)}(f(x))\;+\;C$$
Donde $F^{-1}_{(n)}$ indica el $n$th anti-derivada de la función inversa de la $f$.
La fórmula parece bastante complicado, pero realmente no es así, en una inspección más detallada. Nota: la fórmula no funciona en la función de $f(x)=x$ por una razón que yo no era capaz de determinar todavía. Edit: lo que realmente funciona.
Un ejemplo en acción:
Vamos a calcular $\int \ln^2x\,dx$. Tenemos entonces:
$f(x)=\ln x$
$f^{-1}(x)=e^x$
$F^{-1}_{(1)}(x)=e^x$
$F^{-1}_{(2)}(x)=e^x$
La aplicación de la fórmula, la integral se convierte en:
$$\int\ln^2x\,dx=x\ln^2x-2\ln x\cdot e^{\ln x}+2\cdot e^{\ln x}+C$$ $$=x\ln^2x-2x\ln x+2x+C$$
Derivación (para los curiosos):
Yo derivados de esta fórmula sustituyendo a la inversa de las funciones y haciendo repetidas integración por partes.
En primer lugar, sustituto $x=f^{-1}(u)$. Entonces, tenemos $dx=df^{-1}(u)$. Esto cambia el original de la integral:
$$\int f(x)^2\,dx=\int f(f^{-1}(u))^2\,df^{-1}(u)=\int u^2\,df^{-1}(u)$$
En este punto, me hizo integración por partes (probablemente los mejores integración por partes que he visto). Nota, que estoy utilizando el "DI la tabla" truco para la integración por partes, donde en una columna, las derivadas de una función especifica, y las integrales de otro se ponen en la otra columna. Términos que se multiplican en diagonal a la izquierda-abajo.
$$\begin{array}{ l | c | r } \pm & D & I \\ \hline + & u^2 & df^{-1}(u) \\ - & 2u & f^{-1}(u) \\ + & 2 & F^{-1}_{(1)}(u) \\ - & 0 & F^{-1}_{(2)}(u) \\ \end{array}$$
$$\int u^2\,df^{-1}(u)\;=\;u^2f^{-1}(u)-2uF^{-1}_{(1)}(u)+2F^{-1}_{(2)}(u)+C$$
Ahora, basta con sustituir la espalda $u=f(x)$ , y se llega a la fórmula.
La generalización de la composición de funciones:
No pasó mucho tiempo para darme cuenta de que este método puede ser extendido a las composiciones de funciones. Sólo por la curiosidad de la gente, esta es mi parte integral de la composición de la fórmula:
$$\int f(g(x))\,dx\;=\;\sum^{\infty}_{k=0}(-1)^k\cdot D_k(g(x))\cdot A_k(g(x)) + C$$
Donde $D_k={d^k f\over dx^k}$ e $A_k={d^{-k}g^{-1}\over dx^{-k}}$.
Interesante, ¿no?
De vuelta a la pregunta:
He descubierto esta fórmula? Si yo no se puede que alguien me apunte a una nueva lectura sobre este tema? Yo realmente no puedo encontrar nada de mí, probablemente porque no sé cómo buscar.
