Digamos que me den un número $n = p^{3}q^{4}r^{2}s$ y quiero encontrar el número de grupos abelian (no-isomorfo) del orden de $n$. Cómo que informática que el número básicamente es partición es decir, soy sólo mirándolo y diciendo que tengo $\mathbb{Z}/p^{3}q^{4}r^{2}s\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/p^{2}q^{4}r^{2}s\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ y así sucesivamente. Luego cuento el número de grupos que he escrito abajo. Sin embargo, he encontrado que soy bastante propenso a error cuando hago esto. ¿Hay una manera más rápida de hacerlo? ¿Si no, hay una truco/manera sistemática que podría utilizar para hacer esto más fácil?
Respuestas
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Aquí está una manera sistemática de hacer. Si $n = \prod p_i^{a_i}$ es una factorización en primos, entonces para cada a $p_i$, encontrar todas las particiones del número de $a_i$ en enteros positivos. Por ejemplo, si $a_i$ es 5, entonces estos serán \begin{align*} &5\\ &4+1, \\ &3+2, \\ &3+1+1, \\ &2+2+1, \\ &2+1+1+1, \\ &1+1+1+1 . \end{align*} Se puede ver cómo estas han sido escritas en un patrón sistemático. A continuación, el Sylow $p_i$-subgrupo de tu grupo va a ser isomorfo a un producto cíclico de grupos, donde usted puede elegir cualquiera de estas particiones como los exponentes de la $p_i$ en el orden de cada factor cíclico. Por ejemplo, en la situación anterior, el Sylow $p_i$-subgrupo sería uno de \begin{align*} &Z_{p_i^5} \\ &Z_{p_i^4}+Z_{p_i}, \\ &Z_{p_i^3}+Z_{p_i^2}, \\ &Z_{p_i^3}+Z_{p_i}+Z_{p_i}, \\ &Z_{p_i^2}+Z_{p_i^2}+Z_{p_i}, \\ &Z_{p_i^2}+Z_{p_i}+Z_{p_i}+Z_{p_i}, \\ &Z_{p_i}+Z_{p_i}+Z_{p_i}+Z_{p_i} . \end{align*} Entonces usted puede tomar un producto de la combinación de cualquiera de estos Sylow $p_i$-subgrupos para formar su grupo.
rschwieb
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Sólo necesita ser capaz de calcular las particiones de un número, y el resto a continuación, desde el principio Fundamental de conteo.
Sabemos que hay tres particiones de 3, cinco particiones de 4, dos particiones de 2 y una partición de 1. Entonces hay 3 5 2 * 1 distintas mezclas de particiones. Hay 30 resultados totales.
