En el capítulo 1.22 de su libro Desigualdades matemáticas Cerone y Dragomir prueban la siguiente desigualdad interesante. Dejemos que $A_n(p,x)$ y $G_n(p,x)$ denotan respectivamente la aritmética ponderada y la media geométrica ponderada, donde $x_i \in [a,b]$ y $p_i \ge0 $ . $P_n$ es la suma de todos $p_i$ . Entonces lo siguiente se mantiene:
$$ \exp\left [ \frac {1}{b^2P_n^2} \sum\limits_ {i<j} p_ip_j(x_i-x_j)^2 \right ] \le\frac {A_n(p,x)}{G_n(p,x)} \le\exp\left [ \frac {1}{a^2P_n^2} \sum\limits_ {i<j} p_ip_j(x_i-x_j)^2 \right ] $$
Las dos páginas relevantes del libro pueden ser consultado aquí .
Necesito ayuda para averiguar qué es lo que está mal en mis próximos argumentos. Sólo estaré interesado en el LHS de la desigualdad. Deje que $n=3$ y dejar $p_i=1$ para todos $i$ y por lo tanto $P_n=3$ . Deje que $x,y,z \in [a,b]$ . Podemos asumir que $b= \max\ {x,y,z\}$ . Nuestra desigualdad es equivalente a:
$$ f(x,y,z)= \frac {x+y+z}{3 \sqrt [3]{xyz}}- \exp\left [ \frac {(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2}{9 \max\ {x,y,z\}^2} \right ] \ge0 $$ Según Mathematica $f(1, 2, 2)=-0.007193536514508<0$ lo que significa que la desigualdad, tal como se ha dicho, es incorrecta. Además, si trazo los valores de $f(x,2,2)$ esto es lo que obtengo:
Puede descargar mi cuaderno de Mathematica aquí .
Como puedes ver, nuestra función es negativa para algunos valores de $x$ lo que significa que la desigualdad no se aplica a esos valores.
Obviamente soy yo el que está equivocado o la derivación de Cerone y Dragomir. He leído sus pruebas y no encuentro nada malo, así que sospecho que hay un defecto en mi exposición.
¿Alguien puede ayudarme a encontrarlo?
