La proposición Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio y $C(X)$ ser el conjunto de todos los real continua de las funciones con valores en $X$. Deje $\mathcal{A}$ ser una subalgebra de $C(X)$ que separa los puntos de $X$. Mostrar que cualquiera de las $\overline{\mathcal{A}}= C(X)$ o hay un punto de $x_{0}$ tal que $\overline{\mathcal{A}}= \{\ f\in C(X): f(x_{0})=0 \}\ $.
Mi intento:
- Si la constante de la función $1$ pertenece a $\mathcal{A}$, luego subalgebra $\mathcal{A}$ contiene todas las constantes y funciones $\mathcal{A}$ es denso en $C(X)$ por Stone-Weierstrass teorema.
- De lo contrario, $1\notin \mathcal{A}$. Supongamos que para cada una de las $x\in X$ hay un $f\in \mathcal{A}$$f(x)\neq 0$, luego por la continuidad de cada una de las $f$ y la compacidad de $X$ puedo demostrar que hay un $g\in \mathcal{A}$ que es positivo en $X$. Pero, ¿cómo puedo utilizar este hecho para la conclusión de una contradicción, es decir,$1\in \mathcal{A}$, de modo que podemos demostrar la exsitence de tal $x_{0}$? Y también me pregunto cómo demostrar a $\{\ f\in C(X): f(x_{0})=0 \}\ \subset \overline{\mathcal{A}}$?
Gracias!
