Anillo generador mínimo" para un campo de fracciones

Question

En este respuesta y el post de MathOverflow enlazado, se muestra que cualquier campo $F$ de característica cero contiene un subring propio $A$ tal que $F$ es el campo de las fracciones de $A$ .

Sin embargo, a menudo hay más de un $A$ . Por ejemplo, $\mathbb{Q}$ es el campo de las fracciones de $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}[1/2]$ , $\mathbb{Z}[3/8]$ etc. Pero en cierto sentido, $\mathbb{Z}$ es el "verdadero" subring de $\mathbb{Q}$ que genera $\mathbb{Q}$ como un campo de fracciones.

En particular, $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[1/2]$ y $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[3/8]$ . Así que mi pregunta: para cualquier campo $F$ de char cero, ¿existe un subring propio mínimo $A \subset F$ tal que $F$ es el campo de las fracciones de $A$ ? Donde mínimo significa que si $A$ y $B$ son subreglas propias de $F$ cuyos campos de fracciones son $F$ y si $A$ es mínimo, entonces $A\subset B$ .

Answer 1

No es necesario que existan subredes mínimas de este tipo. Por ejemplo, consideremos $\mathbb{Q} (\sqrt{3})$ . Entonces, para cualquier entero positivo $n$ el subring $\mathbb{Z} [n \sqrt{3}]$ tiene $\mathbb{Q} (\sqrt{3})$ como su campo de fracciones. Pero tenemos $$\mathbb{Z} [\sqrt{3}] \supset \mathbb{Z} [2 \sqrt{3}] \supset \mathbb{Z} [2^2 \sqrt{3}] \supset \mathbb{Z} [2^3 \sqrt{3}] \supset \cdots$$ y la intersección de esta cadena descendente es simplemente $\mathbb{Z}$ que no tiene $\mathbb{Q} (\sqrt{3})$ como su campo de fracciones.

De forma más general, esto se hace con cualquier extensión finita no trivial de $\mathbb{Q}$ .

Answer 2

Este subringulo no tiene por qué existir. Por ejemplo, consideremos el anillo $\mathbb Q[x]$ . Para cada $n$ el subring $R_n=\mathbb Q[x^n,x^{n+1}]$ tiene $\mathbb Q(x)$ como su campo de fracciones. Si hubiera un mínimo $A$ con esta propiedad, entonces tendríamos que tener $A \subseteq \bigcap R_n=\mathbb Q$ una contradicción.

Answer 3

Se puede encontrar un contraejemplo considerando los subrings de $K[X]$ de la forma $K[X^n,X^{n+1}]$ , $n\ge 1$ que tienen intersección $K$ .