Que $p$ ser un primer y $q$ un primer divisor de $2^{p} -1$. Uso de Fermat ' s pequeño teorema a demostrar que $q\equiv 1 (\mod \space p)$

Question

Pregunta continuación: Sugerencia: Considere el $ord_{q}(2)$. Del mismo modo, demostrar que si $r$ es un primer factor de $2^{2^{k}}+ 1 $ $r\equiv1 (\mod \space 2^{k+1})$

Creo que tengo la primera parte, sin embargo yo no quería hacer uso de la pista, así que te agradecería mucho si alguien me podría dar alguna dirección en el caso de mi prueba no es válida. Yo también estoy un poco atascado en la 2ª parte de la pregunta, así que si alguien me podría dar alguna dirección, sería muy apreciada!

Aquí está mi respuesta a la primera parte:

Tenemos que $2^{p}\equiv1 (\mod \space q)$ y desde $q$ es el primer y $q\nmid 2$,

por FLT, $2^{q-1}\equiv1 (\mod \space q)$

A continuación, mediante el algoritmo de euclides, tenemos que $d = ap + b(q-1) $ para algunos enteros $a,b$

$\implies 2^{d}\equiv1(\mod \space q)$

Si asumimos $p ,(q-1)$ no son múltiplos uno de otro, a continuación, $d = ap + b(q-1) = 1$ (desde $q$ es el primer y $q\nmid 2$ $p$ es primo)

$\implies 2\equiv 1 (\mod \space q)$, lo cual es una contradicción.

Por lo $p\mid (q-1) \implies q\equiv1(\mod \space p) $

Es esto una prueba de la correcta? No he utilizado la sugerencia, pero, ¿cómo puedo hacerlo?

Yo quería usar la misma estrategia con la 2ª parte de la pregunta, y tengo que:

$2^{2^{k}}\equiv-1 (\mod \space r)$, y del mismo modo por el FLT, ya $r$ es el primer y $r\nmid 2$,

$2^{r-1}\equiv1(\mod \space r)$

Pero no estoy seguro de cómo proceder después de eso. El $-1$ me lanza fuera un poco. Cualquier dirección sería muy apreciada!!

Gracias de antemano!

Answer 1

En primer lugar $r\ne 2$.

Tienes que $2^{2^{k}}\equiv-1(mod~r)$.

Ahora cuadrado ambos lados y tenemos que $2^{2^{k+1}}\equiv 1 (mod~r)$

Por lo tanto si $ord_r(2)$ es el orden de $2$ wrt $r$, entonces divide $2^{k+1}$ y no dividir $2^k$. Por lo tanto $ord_r(2)=2^{k+1}$ y $ord_r(2)|r-1$ que nos da que $r\equiv 1 (mod~2^{k+1})$.