Encontrar todos los primos $p$ tal que $(2^{p-1}-1)/p$ es un cuadrado perfecto

Question

Encontrar todos los primos $p$ tal que $(2^{p-1}-1)/p$ es un cuadrado perfecto. Probé el método de fuerza bruta y traté de encontrar algún patrón. Obtuve $p=3,7$ como soluciones. Aparte de estos, he probado con muchos otros primos, pero no he podido encontrar ningún otro. ¿Son estos los únicos primos que cumplen la condición?

Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo probarlo teóricamente y, si no, cómo encontrar otros?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Deja que $p=2k+1$ donde $k \in \mathbb{N},$ entonces $2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)=pm^2.$ Sabemos que $\gcd(2^k-1,2^k+1)=1$ ya que son enteros Impares consecutivos, por lo que la ecuación se rompe en $2^k-1=px^2, 2^k+1=y^2$ ou $2^k-1=x^2, 2^k+1=py^2.$

Una investigación sencilla muestra que las únicas soluciones son $p=3,7.$ Os dejo que rellenéis los huecos. También puede interesarle esto.