Resolver $x \equiv 9 \pmod{11}, x \equiv 6 \pmod{13}, x \equiv 6 \pmod{12}, x \equiv 9 \pmod{15}$

Question

$$x \equiv 9 \pmod{11}$$ $$x \equiv 6 \pmod{13}$$ $$x \equiv 6 \pmod{12}$$ $$x \equiv 9 \pmod{15}$$

¿Tiene este sistema una solución? Quiero resolverlo usando el teorema del resto chino, pero hay $\gcd (12,15)=3$ . ¿Cómo puedo hacer frente a esto?

Answer 1

Un buen método para tratar a mano los sistemas de ecuaciones de congruencia con módulos no coprimos es dividirlos según su factorización prima.

Un enfoque general:

1. Para cada congruencia, en la que el módulo no es una potencia primera, divide la ecuación en varias ecuaciones de congruencia con módulo de potencia primera, por ejemplo $$x \equiv 6 \pmod{12} \Leftrightarrow \begin{cases}x \equiv 0 \pmod{3} \\ x \equiv 2 \pmod{2^2}\end{cases} $$
2. Agrupa las ecuaciones según el primo de la base del módulo.
3. Siempre que tengas más de una ecuación para un primo, elige sólo la/una ecuación con la mayor potencia del primo.

4. A continuación, compara las otras ecuaciones con la elegida. O bien contradicen a la primera o son redundantes (están implícitas en la primera). Examínalas una a una y córtalas o concluye que no hay soluciones.

   Ejemplo: $$x\equiv 1\pmod{2} \tag{1}$$ $$x\equiv 3\pmod{8} \tag{2}$$ $$x\equiv 3\pmod{8} \tag{3}$$ $$x\equiv 1\pmod{4} \tag{4}$$ Elija la ecuación (2). (2) implica obviamente (1). Por lo tanto, podemos ignorar (1). Lo mismo para (3). (4), sin embargo, contradice (1), por lo que no hay soluciones para este sistema. Si en cambio tuviéramos $x\equiv 3\pmod{4}$ en (4), entonces esto también sería una redundancia, y todo el sistema se simplificaría a $x\equiv 3\pmod{8}$ .

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En su caso: $$\begin{align*}x \equiv 9 \pmod{11} &\Leftrightarrow x \equiv 9 \pmod{11}\\ x \equiv 6 \pmod{13} &\Leftrightarrow x \equiv 6 \pmod{13} \\ x \equiv 6 \pmod{12} &\Leftrightarrow \begin{cases}x \equiv 0 \pmod{3} \\ x \equiv 2 \pmod{4}\end{cases} \\ x \equiv 9 \pmod{15} &\Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 0 \pmod{3} \\ x \equiv 4 \pmod{5}\end{cases} \end{align*}$$

Sólo $3$ ocurre dos veces, y las ecuaciones son obviamente idénticas. Así que te quedan cinco ecuaciones con módulos coprimas por pares y puedes aplicar la TRC.

Answer 2

2814 es una solución. Puede encontrar más (el siguiente es > 10000) por agotamiento.

GCD(12,15)=3 se mantiene porque 9 y 6 son iguales bajo mod 3.