Entender el espacio cotangente como una clase de equivalencia

Question

En mi clase de geometría diferencial, mi profesor definió el espacio co-tangente como sigue. Sea $M$ sea una variedad lisa y $p$ es un punto en $M$ . Ahora defina dos conjuntos de $C^\infty$ funciones de valor real definidas en $M$ .

1. $\mathcal I_p := \left\{f\in C^\infty(M)\bigr|f(p)=0 \right\}.$ Es decir, el conjunto de funciones que desaparecen en $p$ . Esto no es difícil de imaginar.
2. $\mathcal I_p^2 := \left\{\displaystyle\sum_{i=i}^n f_ig_i\bigr|f_i, g_i\in \mathcal I_p \right\}.$ No pude visualizar el aspecto de este conjunto. ¿Es un subconjunto de $\mathcal I_p$ o un conjunto más grande y por qué?

Después de la definición de estos dos conjuntos viene el concepto aún más difícil de cociente como sigue. Mi profesor definió el espacio co-tangente $T_p^*M$ como el espacio del cociente $\mathcal I_p/\mathcal I_p^2$ . Me cuesta entender lo del cociente en general, sobre todo no tengo ni idea de cómo es este cociente. ¿Hay alguna forma intuitiva de entender este concepto, por favor? Gracias.

Answer 1

Es obvio que $\mathcal I_p^2 \subset \mathcal I_p$ . Bueno, es un fácil ejercicio: simplemente utilice la definición de $\mathcal I_p$ para comprobar que cada elemento de $\mathcal I_p^2$ está en $\mathcal I_p$ . Sugerencia : 1) trivial: $a \cdot 0 = 0$ $\forall a \in \mathbb{R}$ 2) menos trivial: los productos de funciones suaves son suaves.

Las verificaciones directas muestran las demás propiedades algebraicas necesarias (ser subespacios, ideales...) como han señalado los comentaristas.

Una propiedad importante del espacio $\mathcal I_p^2$ es que cada elemento del mismo tiene el diferencial de desvanecimiento en el punto $p$ : $\forall f \in \mathcal I_p^2 \; \mathrm{d}f(p)=0$ . Sugerencia : utiliza la regla del producto.

Y el hecho crucial el cociente $\mathcal I_p / \mathcal I_p^2$ es un de dimensiones finitas espacio vectorial. Para una prueba se utiliza el teorema de Taylor (en la forma que también se conoce como Lema de Hadamard ).

La belleza de esta construcción es que obtenemos un espacio vectorial de dimensión finita definido de forma natural en cada punto de una variedad suave sin usar coordenadas ¡!

Resulta que los elementos de este espacio pueden actuar sobre vectores tangentes vistos desde un ángulo apropiado (por ejemplo, como derivaciones). La dualidad entre vectores y covectores surge inmediatamente.

Lo más importante es conseguir que exista la noción de un espacio cotangente (de una variedad suave en un punto), y hay varios definiciones . La noción es algo a visualizar, siendo las definiciones herramientas que nos permiten trabajar eficazmente con los problemas. Sin un contexto, todo parecerá injustificado y torpe.

Espero que mis comentarios puedan ayudar. Para más detalles por favor, vea este y este notas. En realidad, los artículos de Wikipedia sobre el tangente y el cotangente espacios son bastante útiles también.