Símbolos: Si pero no sólo si

Question

Estaba buscando un símbolo de Latex que indique $A \Rightarrow B$ y $A \not\Leftarrow B$ ( $B$ si no sólo si $A$ , $B$ ifnf $A$ ). He pensado en utilizar $A \Leftrightarrow B$ con la marca de la flecha izquierda < tachado. Ya que no encontré tal símbolo:

¿Existe un símbolo Latex para esto?

¿Qué tan común o comprensible es este símbolo?

Si no es común: ¿Con qué facilidad se confunde con el símbolo $\not\Leftrightarrow$ ?

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Actualización:

Lo necesito para una secuencia $A$ ifnf $B$ ifnf $C$ ifnf $D$ que me parece más comprensible que $A \Leftarrow B \Leftarrow C \Leftarrow D$ y $A \not\Rightarrow B \not\Rightarrow C \not\Rightarrow D$ .

Por supuesto que probaré ambas direcciones.

Answer 1

Cuando las personas afirman implicaciones, a menudo implican implícitamente una cuantificación universal. Por ejemplo, "si $n$ es un número primo mayor que $2$ entonces $n$ es impar" significa realmente "para todos los enteros $n$ , si $\dots$ ." Cuando uno niega una implicación, incluye el cuantificador universal en la negación, por lo que se convierte en un cuantificador existencial. Por ejemplo, si alguien dice que " $n$ es impar" no implica " $n$ es un número primo mayor que $2$ ", normalmente quiere negar que "para todos $n$ , si $n$ es impar entonces $n$ es un número primo mayor que $2$ "; de forma equivalente, quiere afirmar que "existe un impar $n$ que no es un número primo mayor que $2$ ." (Recordemos de la lógica proposicional que la negación de $B\implies A$ equivale a $B\land\neg A$ .) Así que la conectiva combinada que propones, para la implicación en una dirección y la negación de la implicación en la otra, cuantificará implícitamente las variables en parte con cuantificadores universales y en parte con cuantificadores existenciales. Esto me parece una receta para la confusión y, por lo tanto, vale la pena evitarla.

Si, por fortuna, sus declaraciones $A$ y $B$ no implican variables, por lo que no surgen estos problemas de cuantificación, entonces hay una respuesta bastante fácil a su pregunta. Como dije antes, la negación de $B\implies A$ equivale a $B\land\neg A$ . Además, esta fórmula ya implica que $A\implies B$ Así que $$ (A\implies B)\land\neg(B\implies A) $$ equivale a $B\land\neg A$ . Pero recuerde que este uso de la lógica proposicional es legítimo sólo si su $A$ y $B$ no implican ninguna variable que esté implícitamente cuantificada en sus implicaciones.

Answer 2

Es dudoso que exista un símbolo; no creo que sea de uso común.

Tenga en cuenta que su situación es equivalente a " $A$ implica $B$ pero $B$ no implica $A$ ". Hay muchísimas situaciones en las matemáticas en las que esto es así. Por ejemplo:

Las variables aleatorias independientes tienen un coeficiente de correlación cero, pero un coeficiente de correlación cero no implica que las variables aleatorias sean independientes.

De hecho, la distinción que $A \implies B$ no implica que $B \implies A$ es tan importante que casi siempre es mejor abordarlo con algo más que una representación simbólica básica. El lector exige saber por qué no se cumple lo contrario. Casi siempre son útiles los ejemplos de situaciones en las que no se cumple la inversa.

Answer 3

Hay que tener cuidado con esta conectiva (en la lógica clásica) porque no le permite jugar rápido y suelto con el alcance de las variables libres de la manera que $\to$ y $\leftrightarrow$ hacer.

Creo que el uso de palabras en su expresión es probablemente la mejor manera de ir, ya que no requiere un contexto adicional para entender.

$$ \varphi \;\;\text{if but not only if}\;\; \psi $$

Si necesitas una notación compacta para una cadena de estas cosas, te recomendaría usar $<$ Pero también hay que señalar lo que se está haciendo explícitamente y dar una definición de $<$ . El encadenamiento de comparaciones debería ser intuitivo para los lectores sin necesidad de comentarios adicionales.

$$ \varphi_1 < \varphi_2 < \varphi_3 $$ $$ \text{where $ \N - Çxis $ < $ \psi $ if and only if the values of $ \N - Çxis $ are a proper subset of the values of $ \psi $ } $$

Además, si puedes reunir las cosas de las que hablas en una clase o conjunto, entonces puedes utilizar la notación $\subsetneq$ o subconjunto adecuado o subclase adecuada para indicar la relación que le interesa.