Gran puzzle sobre Noether ' teorema s de transformación de coordenadas (simetría del espacio-tiempo)

Question

Por el teorema de Noether con sólo simetría interna, he encontrado no ha sido una prueba clara. Pero yo todavía lucha con la prueba de la transformación de coordenadas. Porque hay muchas pruebas diferentes que no son compatibles el uno con el otro.

1. La primera pregunta es ¿cuál es la definición de "una acción tiene algunos de simetría del espacio-tiempo"?

Porque para una acción $$S[g_{\mu\nu}(x), \phi_A(x)]=\int \sqrt{-g} d^4x \mathcal{L}(\phi_A(x),\partial_\mu\phi_A(x),g_{\mu\nu}(x)) $$

donde $A$ es el índice del campo, e.g spinor campo, campo de vectores etc.

Si me transformar $\partial_\mu$, $\phi_A(x)$, $g_{\mu\nu}$, $\sqrt{-g} $, $d^4x$ simultáneamente de acuerdo con el cambio de $x^\mu$ , la acción $S$ y el de Lagrange $\mathcal{L}$ son sin duda siempre inalteradas bajo cualquier transformación de coordenadas. Pero, ciertamente, no cualquier transformación de coordenadas correspends a las corrientes conservadoras. Así que en primer lugar debe saber cómo definir la simetría de la transformación de coordenadas de una acción? Todavía no he encontrado ninguna QFT libro de texto me dio una definición explícita. Pero creo que la definición de simetrías espacio-tiempo de la acción debe darme las isometrías del fondo métrica $g_{\mu\nu}(x)$. Si bien hasta ahora no sé cómo definir?

Ahora he descubierto que hay cerca de dos tipos de prueba en diferentes QFT libros de texto:

El primer tipo de prueba (e.g Greiner p40 )

Para la transformación de coordenadas: $$x_\mu\rightarrow x_\mu'(x)$$ $$\phi_A(x)\rightarrow \phi_A^{\prime}(x')$$ $$\partial_\mu \phi_A (x)\rightarrow \partial'_\mu \phi'_A (x')$$ $$\delta x^\mu= x^{\prime \mu}-x^\mu$$ $$\delta \phi_A(x)= \phi_A^{\prime}(x') -\phi_A(x)$$ $$\delta (\partial_\mu\phi_A(x))= \partial'_\mu\phi_A^{\prime}(x') -\partial_\mu\phi_A(x)\neq \partial_\mu \delta \phi_A(x) \quad !$$

Se define que la transformación de coordenadas es un symmtry de acción si $$\int_{\Omega'} d^4 x' \mathcal{L}'(x')-\int_{\Omega}d^4x \mathcal{L}(x)=0\tag{2.45}$$

Así que en este paso se mantiene el $\sqrt{-g}=\sqrt{-\eta}=1$ sin cambios antes y después de la transformación.

En la ecuación(2.49),vemos que no hay variación de Lagrange con respecto a $g_{\mu\nu}$, por lo que él también mantener la métrica de los componentes en Lagrange sin cambios. Así, en su derivación de la Lagragian en realidad no es un escalar w.r.t. general de transformación de coordenadas.

Eso significa que el correo.g escalar campo $$\mathcal{L}=\eta_{\mu\nu}\partial^{\mu}\phi(x)\partial^{\nu}\phi(x) =(\partial_t\phi(x))^2-(\nabla\phi(x))^2\\\rightarrow \eta_{\mu\nu}\partial^{\prime\mu}\phi'(x')\partial^{\prime\nu}\phi'(x')=(\partial'_t\phi'(x'))^2-(\nabla'\phi'(x'))^2 $$

Es obvio que la anterior $\mathcal{L}$ es de Lorentz-invariante escalar, pero no un escalar en la arbitrarias de transformación de coordenadas.

$\textbf{Remarks}$: Cuando el fondo es Minkovski o curva el espacio-tiempo con la dinámica de la métrica o no, después de la transformación de coordenadas, la métrica del tensor de la misma, es decir, $\eta=\eta_{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial_{\mu}}\frac{\partial}{\partial_{\nu}}$ no se cambia, pero los componentes, es decir,$\eta_{\mu\nu}$, va a cambiar, a menos que la transformación es isometría.

La segunda prueba (Schwartz p35, Peskin p19)

Hay una suposición que se ver $\mathcal{L}$ como un escalar, es decir,$\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}'(x')$, que requiere la métrica de los componentes de $\eta_{\mu\nu}$ cambiar de acuerdo a la transformación de coordenadas (que es diferente en la primera prueba ). Pero el uso de la noether actual de fomula derivados de la condición de internel simetría. Y en el caso de internel simetría, $d^4x$, $\sqrt{-g}$ se modifican y $\delta\partial_\mu \phi(x)= \partial_{\mu}\delta\phi(x)$, que no se sostienen en el caso de transformación de coordenadas. (Es, de hecho, totalmente equivocado en Peskin la derivación?)

Lo que es más, usted puede incluso utilizar Peskin del método para derivar las corrientes conservadoras de la rotación, ya que la vista de $\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}'(x')$ como escalares, por lo que en virtud de la transformación de Lorentz $\delta\mathcal{L}(x)=(\partial_\mu \mathcal{L}) \delta \omega^{\mu}_{\nu}x^{\nu}$ que no es un total de derivados plazo.

2. Parece que estos dos derivaciones se basan en diferentes prerequistes o diferentes defitions simetría del espacio-tiempo de la acción, aunque al final se obtiene la misma Noether actual de la traducción. Greiner la forma en que se puede calcular la corriente de simetría rotacional, y Peskin de manera que no se puede. Estoy en lo cierto?

3. Hay algunos riguroso derivación de Noether actual del espacio-tiempo de simetría? Yo pienso que puede haber algo de clara prueba de qft en la curva el espacio-tiempo tal que el efecto de la métrica puede ser visto de forma explícita.

Answer 1

Este post (v13), hace muchas preguntas. Déjenos aquí hacer algunas observaciones generales, que OP esperamos que encuentre útil.

1. Una gran cantidad de confusión parece provenir del hecho de que muchos físicos (ver, por ejemplo, Ref. 1-3) considerar la densidad Lagrangiana ${\cal L}$, que es el integrando en la acción funcional $$S~=~\int d^4x ~{\cal L} \tag{A}$$ sin un factor de $\sqrt{|g|}$. El Lagrangiano de la densidad de ${\cal L}$ es no un escalar. Como el nombre sugiere, se transforma como una densidad de $${\cal L}\quad\longrightarrow\quad{\cal L}^{\prime}~=~\frac{{\cal L}}{J}, \qquad J ~:=~\det(\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}}), \tag{B}$$ en general a transformaciones de coordenadas $$ x^{\mu} \quad\longrightarrow\quad x^{\prime \nu}~= ~f^{\nu}(x).\tag{C}$$ E. g. en esta notación el Lagrangiano de la densidad de un campo escalar $\phi$ lee $${\cal L}~=~\pm \frac{1}{2}~\sqrt{|g|}~\partial_{\mu}\phi ~g^{\mu\nu}~\partial_{\nu}\phi \tag{D} $$ con Minkowski firma de $(\pm ,\mp,\mp,\mp)$, respectivamente.

2. Por un lado, en QFT, el tensor métrico $g_{\mu\nu}$ es un fondo fijo (generalmente se toma a la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$), los cuales no varían. Por otro lado, en GR, el tensor métrico $g_{\mu\nu}$ es un campo dinámico, que nos variar.

3. Completa diffeomorphism invariancia en el reino de Noether del segundo teorema.

4. Sin embargo OP parece (por ahora) en su mayoría interesados en Noether del primer teorema en el contexto de ambos vertical y horizontal de las variaciones. [Para la terminología, véase, por ejemplo, mi Phys.SE contesta aquí.]

   • Refs. 2-3, joshphysics del Phys.SE de respuesta y JamalS del Phys.SE responder a discutir sólo las variaciones verticales.

   • Ref. 1 se discute tanto vertical como horizontal de las variaciones.

   • Sin Embargo, Ref. 1 con eq. (2.45) sólo se describen estricto de simetrías. El teorema de Noether puede ser generalizado a cuasi-simetrías, cf. mi Phys.SE responde aquí y aquí. Esta generalización conduce a términos adicionales en la Noether actual.

5. Noether del teoremas se discuten en numerosos libros de texto, pero a menudo con varias deficiencias, presumiblemente debido a que los autores sólo están interesados en las clases especiales de las aplicaciones. Ver también este Phys.SE post.

Referencias:

1. W. Greiner & J. Reinhardt, Campo de cuantización; p. 40.

2. M. D. Schwartz, QFT y el Modelo Estándar; p. 35.

3. M. E. Peskin & D. V. Schroeder, Una Introducción a la QFT; p. 19.