Esta pregunta está inspirada en un ejercicio en Hungerford que tengo sólo parcialmente resuelto. El ejercicio se lee: "A es un dominio de UFD si y sólo si cada valor distinto de cero el primer ideal contiene un valor distinto de cero principal ideal que es primo". (Para Hungerford, 'dominio' significa anillo conmutativo con $1\neq 0$ y sin divisores de cero).
Una dirección es fácil: si $R$ es un UFD, y $P$ es un valor distinto de cero el primer ideal, vamos $a\in P$, $a\neq 0$. A continuación, el factor de $a$ en irreducibles, $a = c_1\cdots c_m$. Desde $P$ es un alojamiento ideal en un anillo conmutativo, es completamente prime por lo que hay un $i$ tal que $c_i\in P$, y por lo tanto, $(c_i)\subseteq P$. Desde $c_i$ es un primer elemento (debido a $R$ es un UFD), el ideal de $(c_i)$ es primo.
Confieso que estoy teniendo problemas con la conversación, y le agradezco las sugerencias.
Pero en esa misma vena, empecé a preguntarme si había una similar "ideal teórico de la" condición que describe Euclidiana dominios. Otras clases de dominios ideal teórico definiciones: PID es obvio, por supuesto, pero menos evidente, quizás, son los que MCD dominios puede ser definida por el ideal de la teoría de las condiciones de (dados cualesquiera dos principales ideas $(a)$$(b)$, hay por lo menos un director ideal $(d)$ que contiene $(a)$$(b)$, el menor entre todos los principales ideales que contienen a$(a)$$(b)$), como puede Bezout dominios (cada finitely generado ideal es principal). ¿Alguien sabe si hay un ideal teórico de la definición de Eucldean dominios?
