Ejemplo de aplicación de la Acotamiento Uniforme Principio

Question

He estado tratando de llegar con un ejemplo sencillo de una aplicación de la acotamiento uniforme principio (o de Banach-Steinhaus teorema). Yo estaba pensando en algo como la siguiente, que es por desgracia un no ejemplo:

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No ejemplo:

Considerar el espacio de Banach $(B(X), \|\cdot\|_\infty)$, es decir, el espacio de la delimitadas las funciones con el sup norma. Vamos a elegir a $X=\mathbb R$ y deje $\mu$ ser una medida que es finito en compacto, como por ejemplo la medida de Lebesgue. Definir $$ T_t : (B(X), \|\cdot\|_\infty) \to \mathbb R$$ como $$ f \mapsto \int_{[-t,t]} f d \mu$$

A continuación, $T_t$ es lineal y acotado: Si $\|f\|_\infty = 1$$\|T_t f\| = |T_t f| = \int_{[-t,t]} f d \mu \leq 2t$, de modo que el operador de la norma $\|T_t\| \leq 2t < \infty$. La condición que se produce un error que me impide la aplicación de Banach-Steinhaus es que la familia $\{T_t\}_{t \in \mathbb R}$ no es pointwise delimitada: Para $f$ $\|f\|_\infty$ tenemos $\sup_{t \in \mathbb R} \|T_t\| \geq \sup_{t \in \mathbb R} 2 t = \infty$.

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A mi no era un ejemplo que supone la conclusión de que el operador integral es continua en todo el espacio. Por supuesto que no en $\mathbb R$ para delimitadas las funciones, pero ves lo que yo estoy tratando de hacer. A pesar de que uno podría considerar la posibilidad de mostrar que la integral es una continua del operador mediante la aplicación de Banach-Steinhaus "cracking nueces con un martillo", esto es para fines educativos, por lo que es aceptable.

Alguien puede modificar mi ejemplo para que funcione o me muestran igualmente un ejemplo fácil? Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

He aquí un sencillo ejemplo de Banach-Steinhaus (BS)(tal vez llamando Uniforme Acotamiento Principio se hace un poco más fácil de memorizar, ya que contiene más información):

Podemos utilizar BS para mostrar que $\mathbb R [x]$, el espacio de los polinomios de más de $\mathbb R$, no es un espacio de Banach con respecto a la siguiente norma: $\|p(x)\| = \|\sum_{k=0}^N a_k x^k \| := \max_k |a_k|$.

Definir claramente delimitado operador lineal $T_n : \mathbb R [x] \to \mathbb R$, $p(x) \mapsto \sum_{k=0}^n a_k$. Es lineal (fácil de ver) y es limitada ya que la suma es finita.

También, para un punto fijo $p(x) \in \mathbb R [x]$, $$ \|T_n p \| = \left |\sum_{k=0}^n a_k \right | \leq (\mathrm{deg}p + 1) \|p\|$$ es decir, la familia $\{T_n\}$ es pointwise limitada. Por lo tanto, si $\mathbb R [x]$ fue un espacio de Banach, todos los requisitos de BS sería cumplen, por lo que en BS, $\sup_{n \in \mathbb N} \| T_n \|$ debe ser finito. Pero esto es falso, ya que podemos definir $p_n (x) = 1 + x + \dots + x^n$, de modo que $\|T_np_n \| = n + 1 $ y, por tanto, $\|T_n\| \geq n + 1$ y, por tanto,$\sup_{n \in \mathbb N} \|T_n \| = \infty$. Esto estaría en contradicción con BS, por lo tanto $\mathbb R [x]$ debe ser incompleta.

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Editar (en respuesta al comentario donde t.b. amablemente señaló que mis $p_n$ no es de Cauchy):

Esto parece como el agrietamiento de las nueces con un martillo, ya que se puede observar que la secuencia de $p_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{2^k} $ tiene una infinita suma como su límite, que es, por definición, no es un polinomio.

Answer 2

He aquí otro ligeramente más importante ejemplo:

Podemos utilizar Banach-Steinhaus para mostrar que a pesar de que tenemos la convergencia en $L^2$ para la serie de Fourier de $f \in C(\mathbb T)$, la convergencia no se sostiene pointwise. Esto nos puede mostrar por mostrar que existe una $f \in C(\mathbb T)$ de manera tal que la serie de Fourier de $f$ diverge en $0$.

Para ello vamos a necesitar los siguientes tres hechos (pruebas omitidas):

Hecho 1: Si $D_n = \sum_{k=-n}^n e^{2 \pi i k}$ $n$- th kernel de Dirichlet, a continuación, $$ D_n \ast f(x) = \sum_{k=-n}^n \hat{f}_k e^{ik 2 \pi x}$$ es decir, la convolución con el kernel de Dirichlet nos da el $n$-ésima suma parcial de la serie de Fourier de $f$.

Hecho 2: $$ \int_0^1 \left | D_n(x) \right | dx \xrightarrow{n \to \infty} \infty$$

Hecho 3: El mapa de $T_n: f \mapsto D_n \ast f (0)$ es un delimitada operador lineal con la norma $\|T_n\| = \int_0^1 \left | D_n(x) \right | dx$.

Ahora todos los requisitos para Banach-Steinhaus se cumplen:

(i) $(C(\mathbb T), \|\cdot\|_{L^2})$ es un espacio de Banach, $\mathbb R$ es una normativa espacio

(ii) $\{T_n\}$ es de la familia del delimitada lineal de operadores: para cada $n$, $T_n$ está delimitado por $\|T_n\|$ (Hecho 3)

Ahora si $\{T_n\}$ fue pointwise acotado, es decir, para un determinado $f$, $\sup_{n \in \mathbb N} \|T_n f \| < \infty $ entonces podríamos aplicar de Banach-Steinhaus para obtener $\sup_{n \in \mathbb N} \| T_n \| < \infty$ pero eso sería una contradicción a$\| T_n \| = \int_0^1 |D_n(x) | dx$$ \int_0^1 \left | D_n(x) \right | dx \xrightarrow{n \to \infty} \infty$. Por lo tanto $\{T_n\}$ no puede ser pointwise limitada que es, existe una $f$ tal que $T_nf$ diverge para $n \to \infty$.