No debería el campo eléctrico en un aislante sólido esfera de ser lineal con la radio?

Question

Soy un senior en la Escuela secundaria que está tomando el curso de AP Física de Electricidad y Magnetismo.

Yo estaba estudiando leyes de Gauss, y me encontré con este problema:

Un aislante sólido esfera de radio R, que contiene una carga positiva que se distrubuted con un volumen de densidad de carga, que no depende de ángulo, pero aumenta con la distancia desde el centro de la esfera. Cuál de los siguientes gráficos correctamente da la magnitud E del campo eléctrico como función de la distancia r desde el centro de la esfera?

La respuesta correcta es dado a la opción D, pero no puedo ver por qué la respuesta es la D. no es la ecuación para el campo eléctrico en este caso, sólo $E = \frac{q \cdot r}{4 \pi \epsilon _{0} \cdot R^{3} } $ si $r \le R$?

Esta fórmula se produce por esférica aisladores dado por el libro de texto de Fundamentos de la Física por Halliday/Resnick. De acuerdo a esta ecuación para el campo eléctrico, el gráfico debe ser claramente lineal hasta $r=R$.

Es por eso que creo que la respuesta es C. creo que este es un problema con el libro de texto, estoy en lo correcto?

Si estoy equivocado por favor alguien puede explicar por qué me he equivocado?

Muchas gracias por su tiempo!

Answer 1

Sugerencias:

1) La frase clave es

el volumen de densidad de carga $\rho$ [...] hace aumentar con la distancia desde el centro de la esfera.

2) De la ley de Gauss en forma integral $\Phi_E=\frac{Q}{\epsilon}$, se obtiene

$$\tag{1} 4\pi r^2 \cdot E(r)~=~ \frac{1}{\epsilon}\int_0^r\! 4\pi r^{\prime 2} dr^{\prime} ~ \rho(r^{\prime}). $$

3) Para hacerse una idea, digamos, por simplicidad, que el aumento es lineal

$$\tag{2} \rho(r)~\propto~r\qquad \text{for}\qquad r~\leq~ R. $$

4) el Uso de ecualizadores. (1) y (2) para demostrar que, a continuación, el campo eléctrico aumenta cuadráticamente

$$\tag{3} E(r)~\propto~r^2\qquad \text{for}\qquad r~\leq~ R. $$

5) ¿Qué sucede si $\rho(r)=Ar^{\alpha}$ es un poder de la ley de $r$?