Deje $G = \mathbb{Q}^{\times}$ ser el grupo multiplicativo de un valor distinto de cero los números racionales. Si $\alpha = p/q \in G$ donde $(p,q) = 1$, vamos a $f: G → G$ ser el mapa que intercambia los números primos $2$ $3$ en el primer poder de la factorización de $p$ $q$ (así, por ejemplo, $f(2^43^57^113^2) = 3^42^57^113^2$$f(3/16) = f(3/2^4) = 2/3^4 = 2/81$), y $f$ es la identidad en todos los números racionales con numeradores y denominadores relativamente primer a $2$ y a $3 $.
a) Demostrar que $f$ es un grupo de isomorfismo.
Intento: vamos a $x,y \in G$$x = 2^{a_1}3^{b_1}k_1j_1, y = 2^{a_2}3^{b_2}k_2j_2$. A continuación, tenemos que demostrar que es un grupo de homomorphism.
A continuación, $f(xy) = f((2^{a_1}3^{b_1}k_1j_1)(2^{a_2}3^{b_2}k_2j_2)) = f(2^{a_1 + a_2}3^{b_1 + b_2}k_1k_2j_1j_2) = 3^{a_1 + a_2}2^{b_1 + b_2}k_1k_2j_1j_2 = 3^{a_1}2^{b_1}k_1j_1(3^{a_2}2^{b_2}k_2j_2) = f(2^{a_1}3^{b_1}k_1j_1)f(2^{a_2}3^{b_2}k_2j_2) = f(x)f(y)$
Por lo $f$ es un grupo homomorphism.
Ahora tenemos que demostrar que es un sobre y función inyectiva.
en: hacia ya que para cada $ y = 2^{a_2}3^{b_2}k_2j_2 \in G$ existe $x = 2^{a_1}3^{b_1}k_1j_1 \in G$ tal que $y = f(x)$
inyectiva: vamos a $x_1 = 2^{a_1}3^{b_1}k_1s_1$$x_2 = 2^{a_2}3^{b_2}k_2s_2$.
Entonces $f(x_1) = f(x_2) $ $\Leftrightarrow$ $ f(2^{a_1}3^{b_1}k_1s_1) = f(2^{a_2}3^{b_2}k_2s_2)$ $\Leftrightarrow$ $ 3^{a_1}2^{b_1}k_1j_1 = 3^{a_2}2^{b_2}k_2j_2 $.
Yo soy una especie de confusión se trata de probar es un bijective función. Por favor alguien puede ayudarme?
b) Demostrar que hay infinitamente muchos isomorphisms del grupo $G$ a sí mismo.
Intento: Generalizar $f$ $f(p^{a}q^{b}ks) = p^bq^aks$ donde $p,q$ son alguno de los números primos, que $f$ de los intercambiadores de ellos en el primer poder factorizations.
Por favor alguien puede verificar estoy en el camino correcto? Cualquier sugerencia o mejor enfoque sería realmente ayuda. Gracias!
