¿Subanillo no trivial con unidad diferente de todo el anillo?

Question

¿Hay algún ejemplo de anillo $R$ con unidad y un subring no trivial $J$ tal que $1_J \ne 1_R$ ?

Answer 1

Si para ti "anillo" significa "anillo con unidad", entonces la definición de "subring" requiere que la unidad sea la misma que la del anillo mayor, igual que "submonoide" requiere que la identidad sea la misma que la del monoide mayor. Así que bajo esta definición, la respuesta es "no", porque la definición de "subring" requiere que si $R$ es un subring de $S$ entonces $1_S\in R$ y así $1_R=1_S$ .

Si por "anillo" no se exige unidad, y se pregunta si es posible tener anillos $R$ et $S$ con $R\subseteq S$ y donde ambos $R$ et $S$ resulta que tienen una unidad y $1_R\neq 1_S$ entonces sí: toma $S=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ y $R=\mathbb{Z}\times\{0\}$ . Entonces $1_S=(1,1)$ et $1_R=(1,0)$ . De hecho, cada vez que escriba un anillo con unidad $S$ como $S=R_1\times R_2$ , tienes que $1_S=(1_{R_1},1_{R_2})$ .

Lo contrario es válido en parte; es la noción de "idempotentes centrales", que está relacionada con la descomposición de anillos en productos directos:

Proposición. Sea $S$ sea un anillo con unidad, y supongamos que $R\subseteq S$ es un subgrupo cerrado bajo multiplicación, y tal que existe $e_R\in R$ que es central en $S$ ( $e_Rs=se_R$ para todos $s\in S$ ) tal que $e_Rr=re_R=r$ para todos $r\in R$ . Entonces $S\cong R\times T$ donde $T$ es un anillo con unidad.

Prueba. Sea $T=S(1_S-e_R)$ . Entonces $T$ es un ideal de $S$ es trivialmente un ideal de la izquierda; y puesto que $1_S-e_R$ es central, $S(1_S-e_R) = (1_S-e_R)S$ que es trivialmente un ideal correcto. En particular, $T$ es un subgrupo cerrado bajo multiplicación. Además, $1_S-e_R$ es idempotente: nótese que $(1_S-e_R)(1_S-e_R) = 1_S - e_R - e_R+e_Re_R$ . Pero $e_Re_R=e_R$ desde $e_R$ es una identidad para $R$ Así que $(1_S-e_R)^2=1_S-e_R$ . Así, para cada $t\in T$ existe $s\in S$ tal que $t=s(1_S-e_R)$ Así que $$t(1_S-e_R) = s(1_S-e_R)^2 = s(1_S-e_R) = t$$ y puesto que $1_S-e_R$ es central, esto demuestra $1_S-e_R$ es una unidad para $T$ .

Tenga en cuenta también que $$\begin{align*} e_R(1_S-e_R) &= e_R-e_Re_R = e_R-e_R = 0,\\ \text{and}\qquad (1_S-e_R)e_R &= e_R-e_Re_R = e_R-e_R=0. \end{align*}$$

Consideremos ahora el mapa $S\to R\times T$ dado por $s\mapsto (se_R,s(1_S-e_R)$ . Obsérvese que el mapa es unívoco: si $se_R= te_R$ et $s(1_S-e_R) = t(1_S-e_R)$ entonces $$s = s(e_R+1_S-e_R) = se_R + s(1_S-e_R) = te_R+t(1_S-e_R) = t(e_R+1_S-e_R) = t.$$ Y el mapa está en: dado $r\in R$ et $t\in T$ existe $s,s'\in S$ tal que $r=se_R$ et $t=s'(1_S-e_R)$ . Sea $u=se_R + s'(1_S-e_R)$ . Entonces $$\begin{align*} ue_R &= se_Re_R + s'(1_S-e_R)e_R = se_R + s'0 = se_R = r\\ u(1_S-e_R) &= se_R(1_S-e_R) + s'(1_S-e_R)(1_S-e_R) = s0+s'(1_S-e_R) = s'(1_S-e_R)=t. \end{align*}$$ Así, la imagen de $u$ es $(ue_R,u(1_S-e_R)) = (r,t)$ . Entonces el mapa es onto. Es fácil comprobar que es aditivo y multiplicativo, por lo que obtenemos un isomorfismo de anillos. $\Box$

Answer 2

Si $R$ es un anillo con un subring $S$ entonces $1_S$ debe tener la propiedad de que $s 1_S = 1_S s = s$ para todos $s \in S$ . En particular, $1_S$ es un idempotente en $R$ . Esto motiva la siguiente construcción: dado un anillo $R$ y un idempotente $e \in R$ considera $$\{ r \in R : er = re = r \}.$$

Se trata de un subring de $R$ que es, por definición, el subring máximo con respecto al cual $e$ es una identidad (por tanto, cualquier subring en el que $e$ es una identidad es un subring unital de este subring). Si $r$ está en este subring, entonces $ere = r$ y a la inversa, cualquier elemento de la forma $ere$ yace en este anillo. En consecuencia, esto es sólo $eRe$ que mencionó Frank Murphy en los comentarios.

He aquí un ejemplo que no proviene de productos directos (equivalentemente donde el idempotente $e$ no es central). Sea $R = \mathcal{M}_{\infty}(k)$ sea el anillo de matrices con entradas en otro anillo $k$ con un número contable de filas y columnas, pero con un número finito de entradas distintas de cero. Entonces hay una secuencia de idempotentes $e_n$ ninguno de los cuales es central (de hecho $R$ no tiene centro), definidas como las matrices diagonales con primer $n$ entradas iguales a $1$ y las entradas restantes iguales a $0$ . Los subrings correspondientes son los anillos $\mathcal{M}_n(k)$ . Estos idempotentes dan una identidad aproximada en $\mathcal{M}_{\infty}(k)$ .

Answer 3

Claro. $S,T$ sean cualesquiera anillos no triviales y consideremos $R=S\times T$ . Entonces la unidad de $R$ es $(1_S,1_T)$ pero el subring $S\times \{0\}$ tiene unidad $(1_S,0_T)$ .

Answer 4

Sí, podemos tomar el ejemplo del anillo $\mathbb{Z}_6$ bajo suma y multiplicación módulo $6$ que tiene unidad $1$ mientras está subring $\{0,2,4\}$ tiene unidad $4$ .

Answer 5

Universalmente: $R[x]/(x^2\!-\!x)$ tiene un subring $xR \cong R\:$ y unidad $x.$ En efecto, $r \mapsto x\,r\:$ es un isomorfismo.

Para saber más sobre los idempotentes y la factorización, consulte la página Descomposición de Peirce.