hace una línea bundle siempre tienen un grado

Question

Para las curvas es muy simple noción de grado de una línea de paquete o de forma equivalente de un Weil o divisor de Cartier. Incluso en cualquier espacio proyectivo $\mathbb P(V)$ divisores son cortadas por hypersurfaces que son polinomios homogéneos de un cierto grado.

Hay más general de la noción de grado que se aplica a los esquemas con menos de la estructura?

También, digamos que usted tiene un buen esquema de $X$, por lo que la línea de paquetes corresponden a los divisores de Cartier arreglo lineal de equivalencia. En lo que la mayoría de la configuración general es así que el grado de una línea de paquete tiene sentido, hay un ejemplo de una línea de paquete de $L \ne O_X$ que es el grado 0 y ha $h^0(L$) = 1?

Answer 1

Una generalización del grado es de primera clase de Chern: Un divisor de Cartier corresponde a una clase en $H^1(X;\mathcal{O}_X^{\times})$, y tome su imagen en el mapa de los límites de la larga secuencia exacta correspondiente a la exponencial de la secuencia exacta $\mathbb{Z} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X^{\times}$ donde el segundo mapa es tomar exponencial (si quieres trabajar en el algebraicas categoría, hay una solución para esto, el uso de la secuencia exacta $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathcal{O}_X^{\times} \to \mathcal{O}_X^{\times}$, donde el segundo mapa es la enésima potencia).

Geométricamente, en un suave cosa, esto significa que usted tome la suma de todos los divisores de Weil como una homología de clase y, a continuación, tomar la de Poincaré dual de clase en $H^2(X;\mathbb{Z})$.

Answer 2

Tengo una tonta respuesta a su segunda pregunta. Tomar un discontinuo de la unión de una curva elíptica con cualquier otra curva, y L ser no trivial de grado 0 bulto en la curva elíptica y trivial en la otra curva.