¿Puedo resolver una integral (u otro problema difícil) jugando con los nudos?

Question

He visto que en el cálculo de cosas en la teoría de nudos que implica un montón de integrales y matrices de aspecto difícil, a pesar de que los propios nudos parecen bastante simples.

Entonces, ¿hay alguna manera de que esto funcione al revés, en la que pueda tener un determinante realmente grande o una integral complicada que pueda representarse como un nudo, y al atar, desatar o reordenar el nudo pueda resolver el problema en ese "dominio del nudo" y luego transferirlo de nuevo a la jerga de las integrales y las matrices, algo así como lo que podrías imaginar usando una transformada de Laplace?

Answer 1

Me gusta tu pregunta. Lamentablemente, no tengo una respuesta general, pero sí un ejemplo concreto en el que es posible. Si lo desea, puede investigar más sobre esto en Rolfsen, Nudos y enlaces en los números de enlace, que es mi referencia. Un enlace es sólo unos cuantos nudos disjuntos, que pueden estar "enlazados" entre sí. Hay algo llamado Integral de Gauss $\ell k (J,K)$ definido para un enlace que tiene componentes $J$ y $K$ que es

$$ \frac{1}{4\pi} \int_J \int_K \frac{ (x'-x)(dxdz'-dzdy')+(y'-y)(dzdx'-dxdz')+(z'-z)(dxdy'-dydx') }{ [(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2]^\frac{3}{2} } $$

donde $(x,y,z)\in J$ y $(x',y',z')\in K.$ Evidentemente, se trata de una integral que no quieres tener que resolver. Por suerte, Rolfsen da siete formas equivalentes de calcular el número de enlace. La más común es la siguiente: Para un diagrama de enlace orientado de $J\cup K$ Sólo mira el cruce en el que $K$ es el sobrearco (en la parte superior). A continuación, gire la imagen hasta $K$ está "apuntando" hacia arriba en uno de los cruces. Si $J$ va de derecha a izquierda, asigna un $+1$ a este cruce. Si $J$ va de izquierda a derecha, a $-1$ . La suma de estos es su número de enlace, hasta una convención de signos. Por lo tanto, ¡nunca tienes que hacer la integral!

Esto es, como he dicho, muy específico. Pero tal vez da alguna intuición.