Sólo mirando los números negativos, $x^{x}$ está definida para todos los números racionales (en el plano real) en todos los casos excepto cuando $x=\large \frac {2a+1}{2b}$ donde $(a, b)$ son números enteros. Sin embargo, ¿qué sucede cuando $x$ toma un valor irracional negativo, como $- \pi$ ? Es $f(x)$ ¿se define allí? Ni siquiera creo que se pueda definir el límite como $x$ se aproxima a esos valores ya que creo que la función es discontinua en el negativo $x$ eje debido a la $x=\large \frac {2a+1}{2b}$ excepción.
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Argon
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$$a^b = e^{b\log a}$$
para todos los complejos y reales $a \neq 0,b$ .
En general, $x^x$ cuando $x<0$ se convierte:
$$ x^x = \\ e^{x\log(x)} = \\ e^{x(\log|x| + i \pi (2n+1))} =\\ |x|^x e^{i x\pi (2n+1)} =\\ |x|^x\cos(\pi x (2n+1))+i |x|^x\sin(\pi x (2n+1)) $$
donde $n \in \mathbb{Z}$ decide qué rama del logaritmo utilizar.
La respuesta correcta es "es complicado". O más bien, "hay más de un significado razonable para $x^x$ cuando $x <0$ ".
La función $x \mapsto x^x$ es analítica en el eje real positivo $\mathbb R_{>0}$ y por tanto se extiende de forma única a una función en una vecindad abierta de $\mathbb R_{>0}$ en $\mathbb C$ . Una descripción explícita que hace más fácil ver lo que está pasando es que $x^x = \exp( x \log x)$ , donde $\log$ es el logaritmo natural. La función $\exp$ está bien definida para todos los números complejos por $\exp(x) = \sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{n!}$ . La función $\log x$ es un poco más complicado. Cuando $|x-1|<1$ podemos definir $\log x = \sum_{n\geq 1} \frac{(1-x)^n}n$ . Puede dar $\log$ un dominio mayor utilizando su expansión de Taylor alrededor de algún número real positivo mayor.
El primer problema es que $\log$ no tiene una expansión de un solo valor para todos los $\mathbb C$ . El problema es el siguiente. Tomemos la función $x \mapsto \sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{n!}$ , digamos, con dominio $\{x : |x-1|<1\}$ y tratar de ampliarlo a $\mathbb C \smallsetminus\{0\}$ recorriendo el origen en el sentido contrario a las agujas del reloj. Mientras caminas, siempre que evites el origen, siempre puedes extender la función - sigue reexpresando tu función en series de Taylor, y luego camina un poco más, y entonces calcula una nueva serie de Taylor. Si vas en la dirección contraria a las agujas del reloj, cuando llegues a $-1$ Por ejemplo, usted decide que $\log(-1) = i\pi$ . Ahora sigue caminando. Para cuando vuelvas a $1$ se descubre que la función ya no se evalúa como $0$ en $1$ sino a $2\pi i$ . ¡Uy! $2\pi i \neq 0$ .
La solución habitual para esto es elegir un corte de la rama $B$ que es cualquier trayectoria continua no autointersectiva que comienza en $0$ y termina en $\infty$ (aparte: se puede mapear el plano $\mathbb C$ de forma inyectiva en la esfera $S^2$ por proyección estereográfica y luego " $\infty$ " significa el polo norte; así que es un solo punto, pero está en todas las direcciones). La forma más sencilla de elegir un corte de rama es elegir un ángulo $\theta \in (0,2\pi)$ y tomar el corte para correr a lo largo del rayo $re^{i\theta}$ para $r \in \mathbb R_{>0}$ . Proporcionado $B$ no se cruza con $\mathbb R_{>0}$ la función $\log$ se extiende de forma única desde $\mathbb R_{>0}$ a $\mathbb C \smallsetminus B$ . Esta extensión tendrá una discontinuidad de salto a lo largo del corte de la rama $B$ : saltará por $2\pi i$ al cruzar en el sentido de las agujas del reloj. Saber cómo salta la extensión permite a diferentes personas comparar sus extensiones si eligen diferentes cortes de rama.
Has preguntado por $x^x$ cuando $x$ es negativo. Bien, elija un corte de rama entonces que no intersecte tampoco $\mathbb R_{>0}$ o $\mathbb R_{<0}$ . Hay esencialmente dos maneras de hacer esta elección: o bien el corte de la rama está en el semiplano superior (parte imaginaria positiva), o bien está en el semiplano inferior. Cualquiera de los dos casos da una noción bien definida de " $\log x$ ", y por lo tanto " $x \log x$ " y " $\exp(x\log x)$ ".
¿Cómo se comparan los dos valores? Pues bien, dejemos que $\log_+ x$ denotan el valor de $\log x$ cuando el corte de la rama es a lo largo de $-i\mathbb R_{>0}$ y $\log_- x$ el valor mediante el corte de la rama $i\mathbb R_{>0}$ . Entonces para $x\in \mathbb R_{<0}$ , $\log_\pm x = \log (-x) \pm i\pi$ . Así que los dos valores de $x \log x$ difieren en $2\pi i x$ . Por lo tanto, la relación de los dos valores de " $x^x$ " es $\exp(2\pi i x)$ .
Tenga en cuenta que $\exp(2\pi i x) = 1$ si $x$ es un número entero. Por lo tanto, el símbolo " $x^x$ " está bien definida sin opciones adicionales (como un corte de rama) sólo cuando $x$ es un número entero. Por lo demás, tiene muchos significados razonables.
Por cierto, ¿cómo se define $x^x$ cuando $x$ es un número racional negativo?
jlupolt
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