Expresando la serie de Eisenstein E_k en términos de E_4 y E_6

Question

Dada una serie de Eisenstein $E_k$ (de nivel 1), es un polinomio $P_k(E_4,E_6)$ en $E_4$ y $E_6$ y http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series#Recurrence_relation debería dar un algoritmo finito para hacerlo.

¿Conocemos alguna propiedad de estos polinomios $P_k$ o ¿existen fórmulas? Una búsqueda rápida en Internet no ha dado lugar a nada, pero tal vez es que no sé qué buscar.

(Como antes, si alguien sabe lo suficiente sobre el tema para decirme si esto es apropiado para el desbordamiento, por ejemplo, que no se encuentra en un libro de texto común, entonces yo podría publicar allí en su lugar).

Answer 1

No estoy muy seguro de lo que está buscando. Pero sí, hay algunos resultados sobre los polinomios $P_k$ . Por ejemplo, Swinnerton-Dyer ha demostrado que si $p>5$ es un primo, entonces $P_{p-1}$ es $p$ -integral, y su reducción mod $p$ no tiene factores múltiples (por lo que, a fortiori, $P_{p-1}$ tampoco tiene factores múltiples). También, $P_{p-1}-1$ es irreducible.