Suave funciones de la satisfacción de una identidad

Question

Deje $ f, g$ ser suave no constante de las funciones de un intervalo de $(a, b)$ $\mathbb{R}$tal que $f(x)^2 + g(x)^2 = 1$ todos los $x$$(a, b)$.

Entonces es cierto que $f(x) =\cos (h(x))$ $g(x) =\sin(h(x))$ para algunos liso función de $h(x)$?

Answer 1

Sí. Considere la posibilidad de $z(x) = f(x) + i g(x)$. Usted quiere encontrar una función de $h(x)$ $[0,1]$ tal que $z(x) = \exp(i h(x))$. Tenga en cuenta que $z' = i h' z$. Así que usted puede tomar $$ h(x) = h_0 + \int_0^x \frac{ z'(t)}{i z(t)} dt = h_0 + \int_0^x (f(t) g'(t) - f'(t) g(t))\; dt$$ donde $z(0) = \exp(i h_0)$.