La división de los campos de grupos simétricos

Question

Es cierto que $k$ es una división de campo de la $S_n$ si y sólo si la característica $p$ $k$ es cero o mayor que $n$? El hecho de que la tabla de caracteres ( $\mathbb C$ ) sólo ha entero entradas menor o igual a $n$, parece dar a entender esto, o estoy equivocada? Si la afirmación es verdadera, podría alguien dar una cita?

Edit: $k$ es una división de campo de la $S_n$ si $k$-álgebra $kS_n$ se divide $k$, es decir, si para cada ($=$ irreductible) $kS_n$-a la izquierda-módulo de $M$,$\mathrm{End}_{kS_n}(M) \cong k$.

Answer 1

No veo por qué usted necesita $p$ mayor que $n$ si no-cero -más precisiely, no. En ese caso, absolutamente irreductible módulo para un grupo finito es realizable en el campo de su carácter, y para el grupo simétrico, este es siempre el primer subcampo. Esto se reduce al hecho de que Schur índices son triviales sobre campos finitos, que a su vez es una consecuencia del hecho de que finito de la división de álgebras de campos. Esto se explica en muchos de los textos sobre la teoría de la representación, por ejemplo, Curtis y Reiner.

Answer 2

La irreductible $S_n$-los módulos son todos realizable sobre los enteros. Específicamente, hay una familia de $\mathbb{Z} S_n$-módulos de $S^\lambda$ indexados por particiones $\lambda$$n$, llama Specht módulos, junto con simétrica $\mathbb{Z}$-formas bilineales, tal que más de un campo $k$, el cociente por el radical de la forma es cero o irreductible, y el conjunto de no-cero irreducibles obtenido de esta manera es un conjunto completo de representantes de la isoclasses de irreducibles. Lo cierto es que el grupo de álgebra es semisimple exactamente si la característica $p$ es mayor que $n$. En general, los bloques están en bijection con el conjunto de $p$-núcleos de particiones de $n$.

Usted puede leer acerca de esto en el capítulo 4 de James libro "La teoría de representaciones del grupo simétrico".