Unicidad del espacio de clasificación

Question

Los espacios de clasificación son obviamente únicos hasta el tipo de homotopía. Me pregunto si bajo condiciones más fuertes, también se puede decir que son únicos hasta la homeomorfia. En particular, supongamos que $\Gamma$ es un grupo y existe un modelo $X$ para $B\Gamma$, que es cerrado (compacto sin frontera). Supongamos que $Y$ también es un modelo para $B\Gamma$ y que $Y$ también es cerrado. En mis ejemplos básicos parece razonable que $X\cong Y$. ¿Es esto siempre cierto?

Además, si $X$ e $Y$ son modelos para $B\Gamma$ y $X$ es una variedad cerrada de $n$ dimensiones y $Y$ también es una variedad de $n$ dimensiones. ¿Es verdad que $Y$ también es cerrado?

Answer 1

Respecto a tu última pregunta:

Si $X$ e $Y$ son $n$-manifolds homotópicas y una de ellas está cerrada, entonces la otra también lo está. (Por la suposición de ser homotópicas, tienen homología isomorfa. Ya que se puede detectar usando $H^n$ si una $n$-manifold está cerrada, entonces ambas están cerradas o ninguna lo está.)

Answer 2

Hay algo llamado un múltiplo asférico. Este es un múltiplo cerrado cuya cubierta universal es contractible. En particular, cualquier múltiplo asférico $M$ es un modelo para $B\pi$ donde $\pi=\pi_1(M)$. Hay muchos ejemplos de multiplicidades asféricas, por ejemplo cualquier múltiplo cerrado de curvatura seccional negativa (por ejemplo, los múltiplos hiperbólicos) son asféricos por el Teorema de Cartan-Hadamard, que el mapa exponencial es entonces un mapa de cobertura.

Ahora hay una hermosa conjetura debida a Borel (la Conjetura de Borel) que establece que cualquier dos múltiplos asféricos $M$ y $N$ con grupo fundamental isomorfo $\pi$ son homeomórficos. Incluso más, la conjetura predice que cualquier equivalencia homotópica $f: M \to N$ es homotópica a un homeomorfismo.

Recientemente ha habido mucho trabajo concerniente a esta conjetura debido a una conjetura más fuerte, la Conjetura de Farrell-Jones. Esta es una conjetura sobre la teoría algebraica $K$ y $L$ de anillos de grupos. La Conjetura de Farrell-Jones para la teoría de $K$ y $L$ juntas implican la Conjetura de Borel. Además, la Conjetura de Farrell-Jones ha sido probada para una clase bastante grande de grupos, incluyendo grupos hiperbólicos, grupos $CAT(0)$ y muchos más.

Gran parte del trabajo sobre la Conjetura de Farrell-Jones se debe a Wolfgang Lück (profesor en la Universidad de Bonn) y es posible que desees consultar algunos de sus artículos de investigación sobre estas preguntas. Puedes encontrarlos en su página web, http://www.math.uni-bonn.de/ag/topo/members para acceder al enlace.

Además, debo mencionar que hay un teorema llamado "Rigidez de Mostow" que prueba la conjetura de Borel para múltiplos hiperbólicos, y esto es mucho más antiguo que el trabajo sobre la Conjetura de Farrell-Jones.