Cuando tengo un diseño de la matriz $$X = \begin{bmatrix} 1 & x_{11} & \ldots & x_{1k}\\ 1 & x_{21} & \ldots & x_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n1} &\ldots & x_{nk} \end{bmatrix} $$ ¿cómo puedo demostrar que restar la media de columnas $2$ $k$no cambia el sombrero de la matriz dada por $$H = X (X^T X)^{-1} X^T \,\,?$$
Respuesta
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Si usted degradar la matriz de datos $X = [1_n,X_2]$, se obtiene la nueva matriz de datos $$ \tilde{X} = [1_n, \tilde{X}_2], $$ donde $\tilde{X}_2 = [I_n - n^{-1} 1_n 1_n^T]X_2 = DX_2$.
Todo esto es sólo la recíproca de bloque de matrices. Espero no cometer un error. Hay, probablemente, un limpiador de manera de hacer esto.
El (posiblemente nuevo) el sombrero de la matriz es \begin{align*} H_2 &= \tilde{X} (\tilde{X}^T \tilde{X})^{-1}\tilde{X}^T \\ &= [1_n, \tilde{X}_2] \left[\begin{array}{cc} n & 1_n^T \tilde{X}_2 \\ \tilde{X}_2^T 1_n & \tilde{X}_2^T\tilde{X}_2 \end{array}\right)^{-1} \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ \tilde{X}_2^T \end{array} \right] \\ Y= [1_n, DX_2] \left[\begin{array}{cc} n & 1_n^T DX_2 \\ X_2^TD^T 1_n & X_2^TD^TDX_2 \end{array}\right)^{-1} \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ X_2^TD^T \end{array} \right] \\ Y= [1_n, DX_2] \left[\begin{array}{cc} n & 0 \\ 0 & X_2^TDX_2 \end{array}\right)^{-1} \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ X_2^TD^T \end{array} \right] \\ Y= [1_n, DX_2] \left[\begin{array}{cc} n^{-1} & 0 \\ 0 & (X_2^TDX_2)^{-1} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ X_2^TD^T \end{array} \right] \\ y= [n^{-1} 1_n, DX_2(X_2^TDX_2)^{-1}] \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ X_2^TD^T \end{array} \right] \\ &= n^{-1}1_n 1_n^T + DX_2(X_2^TDX_2)^{-1} X_2^TD^T \\ &= n^{-1}1_n1_n^T + n^{-2}1_n1_n^TX_2[X_2^TDX_2 ]^{-1}X_2^T1_n1_n^T - X_2X_2^TX_2 X_2^T 1_n[X_2^TDX_2]^{-1}1_n^T -n^{-1}1_n1_n^T X_2 [X_2^TDX_2 ]^{-1}X_2^T +X_2[X_2^TDX_2]^{-1}X_2^T \\ y= [n^{-1}1_n + n^{-2}1_n1_n^TX_2[X_2^TDX_2 ]^{-1}X_2^T1_n - X_2X_2^TX_2 X_2^T 1_n[X_2^TDX_2]^{-1}, -n^{-1}1_n1_n^T X_2 [X_2^TDX_2 ]^{-1} +X_2[X_2^TDX_2]^{-1}] \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ X_2^T \end{array} \right] \\ Y= [1_n, X_2] \\ &\left[\begin{array}{cc} n^{-1} + n^{-2}1_n^TX_2[X_2^TDX_2 ]^{-1}X_2^T1_n & -n^{-1}1_n^T X_2 [X_2^TDX_2 ]^{-1} \\ - X_2^TX_2 X_2^T 1_n[X_2^TDX_2]^{-1} & [X_2^TDX_2]^{-1} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ X_2^T \end{array} \right] \\ Y= [1_n, X_2] \\ &\left[\begin{array}{cc} n^{-1} + n^{-2}1_n^TX_2[X_2^TX_2 - n^{-1}X_2^T1_n1_n^T X_2]^{-1}X_2^T1_n & -n^{-1}1_n^T X_2 [X_2^TX_2 - n^{-1}X_2^T1_n1_n^T X_2]^{-1} \\ - X_2^TX_2 X_2^T 1_n[X_2^TX_2 - n^{-1}X_2^T1_n1_n^T X_2]^{-1} & [X_2^TX_2 - n^{-1}X_2^T1_n1_n^T X_2]^{-1} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ X_2^T \end{array} \right] \\ Y= [1_n, X_2] \left[\begin{array}{cc} n & 1_n^T X_2 \\ X_2^T 1_n & X_2^TX_2 \end{array}\right)^{-1} \left[ \begin{array}{c} 1_n^T \\ X_2^T \end{array} \right] \\ Y= X(X^TX)^{-1}X^T \end{align*}
