(Acabo de leer la negrita declaraciones si usted desea conseguir directamente al punto)
Esta pregunta viene como una extensión a la que se plantea en Stein y Sakarchi del Análisis Real, y está relacionado con la noción de que una integral de una función positiva es igual al volumen limitado por su gráfica.
El texto demuestra que $\int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x)|dx=m(A)$ donde $A:=\{(x,\alpha)\in\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R} : 0\leq\alpha\leq|f(x)|\}$. Suponiendo que ambos $A$ $f$ son medibles en los contextos apropiados, la prueba es un simple cálculo: \begin{equation*}\int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x)|dx=\int_{\mathbb{R}^{d}}m(A_{x})dx=\int_{\mathbb{R}^{d}}\chi_{A_{x}}(x)dx=\int\limits_{0}^{\infty}\int_{\mathbb{R}^{d}}\chi_{A}(x,\alpha)dxd\alpha=m(A)\end{ecuación*} (por supuesto, la aplicación del Teorema de Tonelli).
Ahora, aquí está la pregunta de Stein y Sakarchi: Si $f$ es integrable en a $\mathbb{R}^{d}$, para luego definir para cada una de las $\alpha>0$ el conjunto $E_{\alpha}:=\{x:|f(x)|>\alpha\}$, y demostrar \begin{equation*}\int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x)|dx=\int\limits_{0}^{\infty}m(E_{\alpha})d\alpha.\end{ecuación*}
La prueba es básicamente una consecuencia inmediata de lo que ya se ha demostrado anteriormente, salvo que utilizamos las rebanadas $A_{\alpha}$ en lugar de $A_{x}$. En otras palabras, tenemos: \begin{equation*}\int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x)|dx=\int_{\mathbb{R}^{d}}m(A_{x})dx=\int\limits_{0}^{\infty}m(A_{\alpha})d\alpha=m(A).\end{ecuación*} Desde $A_{\alpha}$=$E_{\alpha}$, el problema está resuelto. Un buen sentido geométrico de la integración de los segmentos independientes es que la integración de $A_{x}dx$ es similar a la de la partición del dominio, y la integración de $A_{\alpha}d\alpha$ es similar a la de la partición del intervalo. De nuevo, el riguroso justificaciones son de la Fubini/teorema de Tonelli.
Ahora, aquí es la parte donde yo estoy teniendo dificultad. Yo quiero probar la declaración de \begin{equation*}\int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x)|^{p}dx=\int_{0}^{\infty}p\alpha^{p-1}m(E_{\alpha})d\alpha\end{ecuación*} donde todo es como en el anterior, y $1<p<\infty$. El caso anterior es $p=1$. Ya que no estamos usando $\{x: 0<\alpha<|f(x)^{p}\}$, por encima de la prueba técnica no se puede utilizar exactamente, y no estoy seguro de cómo proceder.
Es interesante que la \begin{equation*}$|f(x)|^{p}=\int\limits_{0}^{|f(x)|}p\alpha^{p-1}d\alpha\end{ecuación*} de manera que obtenemos algo como \begin{equation*}\int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x)|^{p}dx=\int_{\mathbb{R}^{d}}\int_{0}^{|f(x)|}p\alpha^{p-1}d\alpha.\end{ecuación*} sin Embargo, todavía no estoy seguro de donde se toma esta.
