Gilbarg Trudinger: continuidad de Hölder en el capítulo 8

Question

Estoy tratando de rastrear el comportamiento de los coeficientes en los teoremas 8.22 y 8.24. En particular, estoy considerando el comportamiento de la T.R.A. a la distancia de $ \Omega '$ a $ \partial \Omega $ Declararé una versión abreviada del teorema 8.22

Teorema 8.22 Si $u \in W^{1,2}( \Omega )$ es una solución débil de una pda elíptica lineal en forma de divergencia en $ \Omega $ Entonces $u$ es localmente Hölder continua en $ \Omega $ y para cualquier Bola $B_{R_0}(y) \subset \Omega $ y $R \leq R_0$ tenemos $$ \text {osc}_{B_R(y)}(u) \leq CR^ \alpha (R_0^{- \alpha } \sup_ {B_{R_0}(y)} |u| +k)$$ donde $C=C(R_0)$ y $ \alpha = \alpha (R_0)$

El teorema 8.24 da una estimación de la norma de Hölder para conjuntos compactos $ \Omega ' \subset\subset \Omega $ de la forma $$||u||_{C^ \alpha ( \Omega ')} \leq C (||u||_{L^2( \Omega )}+k) \tag {1}$$ donde $C$ y $ \alpha $ ambos dependen de la distancia de $ \Omega '$ a $ \partial \Omega $ y $k$ no me molesta :).

Lo que descubrí, al probar la continuidad local de Hölder de $u$ en el teorema 8.22 de la estimación de la oscilación es que la $C$ para la estimación (1) también depende del tamaño de $ \Omega '$ . ¿Alguien ya ha considerado esto?

¿Por qué creo esto? Deja que $ \Omega ' \subset \Omega $ y elegir $R_0$ tan pequeño que $B_{R_0}( \Omega ') \subset \Omega $ (De ahí la dependencia de la distancia del límite). La estimación de la oscilación sólo se mantiene en las bolas. Por lo tanto, debido a la compacidad encontramos una cobertura finita de $ \Omega '$ que consiste en bolas $B_{R}(x_k)$ , $k=1,...n$ .

Para mostrar el arreglo de continuidad local de Hölder $x,y \in\Omega '$ y calcular (en el peor de los casos, es decir, x,y no en la misma bola, es decir. $|x-y|>R$ ) y $1 \leq l \leq n$ , $$|u(x)-u(y)| \leq |u(x)-u(x_1)|+ ... + |u(x_l)-u(y)| \leq C lR^{ \alpha } \leq C n|x-y|^ \alpha \tag {2}$$ (Negaticé $k$ Ahora $n$ depende obviamente de la cobertura, así que en particular del radio $R$ que depende de $R_0$ . Sin embargo, el número $n$ depende del tamaño de $ \Omega '$ y $R$ .

Así que la pregunta es : ¿Hay otra forma de mostrar la estimación $(2)$ sin usar el tamaño del dominio? ¿Mi argumento de cobertura está equivocado?

Edit: ¿O hay otra forma de mostrar la continuidad local de Hölder, a partir de la estimación de la oscilación?

Edit2: Además, se afirma que las constantes $C$ y $ \alpha $ son independientes de $R_0$ y $R$ en el caso del operador de Laplace y que, por consiguiente, la constante $C$ en $(1)$ será independiente de la forma $ \Omega $ y $ \Omega '$ . ¿Suena razonable?

Answer 1

No se necesita una cadena de bolas en el caso $|x-y|\ge R$ . Sólo tiene que utilizar la estimación $$ \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}\le 2 R^{-\alpha} \sup_{\Omega'}|u| $$ La aparición de $R^{-\alpha} $ no es un problema, ya que sólo depende de $\alpha$ y en la distancia de $\Omega'$ a $\partial \Omega$ . Y $\sup_{\Omega'}|u|$ es controlado por $\|u\|_{L^2(\Omega)}$ en virtud del Teorema 8.17. (Hemos tenido que controlar $\sup_{\Omega'}|u|$ de todos modos, porque es una parte de $C^\alpha$ norma).

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Para tu Edit2: no, $C$ en (1) no puede ser independiente del dominio incluso para funciones armónicas. Por ejemplo, tomemos $u\equiv 1$ en $B(0,r)$ donde $r$ es pequeño. Entonces $k=0$ (ecuación homogénea), y $L^2$ norma es pequeña, pero $C^\alpha$ norma es $1$ . Sencillamente, los dos lados de (1) no se escalan de la misma manera cuando se reescala el dominio. Por lo tanto, $C$ no puede ser una constante absoluta.

Creo que has interpretado mal lo que han escrito los autores. En realidad afirman que las siguientes constantes son independientes del dominio cuando $\nu=0$ :

1. $C$ en (8.46), (8.47), (8.63)
2. $\alpha$ en (8.65) y (8.68)

Lo que afirman es correcto. Obsérvese cómo (8.46) y (8.47) se establecen con potencias de $R$ , para que ambos lados se escalen de la misma manera. Y (8.63) es la desigualdad de Harnack. Para las funciones armónicas, $\alpha$ en (8.65) y (8.68) puede tomarse como $1$ porque podemos controlar uniformemente el gradiente por el tamaño de la función.

Por cierto, $\nu=0$ no significa que tengamos la ecuación de Laplace. La EDP tiene que ser de la forma $\operatorname{div}(A(x)\nabla u)=0$ (no hay términos de orden inferior), pero la matriz de coeficientes no tiene por qué ser la identidad. El exponente de Hölder $\alpha$ puede estimarse puramente en términos de los parámetros de elipticidad, sin referencias a los dominios. La constante $C$ Sin embargo, se ve afectado por la escala, como se ha explicado anteriormente.

Una cosa más: si estás interesado en buenas estimaciones de oscilación para funciones armónicas específicamente, es mejor tratar con la ecuación de Laplace específicamente, en lugar de usar resultados para ecuaciones elípticas generales.