Encontrar este límite: $ \lim_{n \to \infty}{(e^{\frac{1}{n}} - \frac{2}{n})^n}$

Question

Alguien me puede ayudar con este límite:

$$ \lim_{n \to \infty}{\left(e^{\frac{1}{n}} - \frac{2}{n}\right)^n}$$

Pienso que debería expandir $e^{\frac{1}{n}}$ como la secuencia de $1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}2!} + \frac{1}{n^{3}3!} + \dots $. Pero no puedo ver cómo me ayuda.

Edit: o tal vez de usar el logaritmo?

Answer 1

Es mejor tratar de computación $$ \lim_{x\to\infty}\Bigl(e^{1/x}-\frac{2}{x}\Bigr)^{x}= \lim_{t\to0^+}(e^t-2t)^{1/t} $$ con la sustitución de $x=1/t$. A continuación, calcular el logaritmo de este: $$ \lim_{t\to0^+}\frac{\log(e^t-2t)}{t} $$ Una aplicación de l'Hôpital del teorema se llevará al resultado.

$\lim\limits_{t\to0^+}\frac{e^t-2}{e^t-2t}=-1$, por lo que su límite es $e^{-1}$

Answer 2

Escribir

$$ \left(e^{1/n} - \frac{2}{n}\right)^n = e\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^n$$

Deje $h_n = n e^{1/n}$, tenga en cuenta que$h_n \to \infty$$ n \to \infty$.

$$\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^n = \left(\left(1 - \frac{2}{h_n}\right)^{h_n}\right)^{e^{-1/n}}$$

Desde $h_n \to \infty$, $\left(1 - \frac{2}{h_n}\right)^{h_n} \to e^{-2}$.

(el uso de $\left(1 + \frac{c}{x}\right)^x \to e^c$$x \to \infty$)

y también tenemos a $e^{-1/n} \to 1$.

Por lo tanto $\left(\left(1 - \frac{2}{h_n}\right)^{h_n}\right)^{e^{-1/n}} \to e^{-2}$

y por lo que su límite es $e\times e^{-2} = e^{-1}$

Answer 3

Paso 1.Preparación \begin{align} \lim_{n \to \infty} {\left(e^{1/n} - \frac{2}{n}\right)^n} = & \;e\cdot\lim_{n \to \infty} {\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^n} \\ = & \;e\cdot\lim_{n \to \infty} \left[{\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^{ne^{1/n}}}\right]^{ \color{red}{\frac{1}{e^{1/n}}}} \\ \end{align}

Paso 2. Reducir el límite a otro límite conocido: $\;e \lim_{n \to \infty}{\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^{ne^{1/n}}}$.

\begin{align} \lim_{n \to \infty} {\left(e^{1/n} - \frac{2}{n}\right)^n} = & \;e\cdot\lim_{n \to \infty} \exp\left(\log \left[{\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^{ne^{1/n}}}\right]^{\color{red}{\frac{1}{e^{1/n}}}} \right) \\ = & \;e\cdot\lim_{n \to \infty} \exp\left(\color{red}{\frac{1}{e^{1/n}}}\log \left[{\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^{ne^{1/n}}}\right]\right) \\ = & \;e\cdot \exp\left( \lim_{n \to \infty}\color{red}{\frac{1}{e^{1/n}}} \cdot \log \left[ \left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}} \right)^{ne^{1/n}} \right] \right) \\ = & \;e\cdot \exp\left(\color{red}{ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{e^{1/n}}} \cdot \lim_{n \to \infty}\log \left[ \left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}} \right)^{ne^{1/n}} \right] \right) \\ = & \;e\cdot \exp\left(\color{red}{ 1} \cdot \lim_{n \to \infty}\log \left[ \left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}} \right)^{ne^{1/n}} \right] \right) \\ = & \;e \lim_{n \to \infty}\exp\left(\log \left[{\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^{ne^{1/n}}}\right]\right) \\ = & \;e \lim_{n \to \infty}{\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^{ne^{1/n}}} \\ \end{align} Paso 3. Cambio de variable. Deje $t=-ne^{1/n}$. Entonces \begin{align} \lim_{n \to \infty} {\left(e^{1/n} - \frac{2}{n}\right)^n} = & \;e \lim_{n \to \infty}{\left(1 - \frac{2}{ne^{1/n}}\right)^{ne^{1/n}}} \\ = & \;e \lim_{t \to 0}{\left(1 + t\right)}^{\frac{-2}{t}} \\ = & \;e \lim_{t \to 0}\left[{\left(1 + t\right)}^{\frac{1}{t}}\right]^{-2} \\ =& e^{-1} \\ \end{align}