El grueso del espacio de moduli de un Deligne-Mumford pila

Question

Esta pregunta es sólo una definición de "solicitud".

Pregunta. ¿Qué es el "el grueso del espacio de moduli" de un Deligne-Mumford pila?

Sé que (los fundamentos de la) DM pilas, pero, ¿cómo son sus módulos de los espacios definidos? ¿Cuál es su enlace con módulos? Son esquemas?

Ejemplo. En el caso de los módulos de un problema como el resuelto por la pila de $\overline{\mathcal M}_g$ (estable curvas de género $g$), hay un grueso espacio de moduli $\overline{M}_g$. Sé cómo modificar los módulos problema que $\overline{M}_g$ resuelve (grueso) con el fin de obtener un objeto final en la categoría de las familias, y, por tanto, una multa de módulos... de la pila de $\overline{\mathcal M}_g$. Si empiezo con $\overline{\mathcal M}_g$, supongo que su grueso espacio de moduli debería ser $\overline{M}_g$, pero, ¿cómo ir de$\overline{\mathcal M}_g$$\overline{M}_g$?

Gracias!

Answer 1

Para empezar, aquí hay algunas referencias. Usted puede mirar en el Conrad de notas como en Adeel la respuesta; la primera página de esas notas ya contiene lo que usted está pidiendo en algún sentido.

Otras referencias incluyen las Pilas proyecto, Vistoli del apéndice a su histórico papel o el papel original de Deligne y Mumford. Por supuesto, también puede buscar en el libro de Laumon y Moret-Bailly.

Permítanme ahora a tratar de explicar un poco cómo definir el grueso del espacio de moduli.

Deje $X$ ser un Deligne-Mumford pila de finito tipo sobre una base-esquema de $S$. En Remarque 3.19 de la LMB (Laumon, Moret-Bailly) el grueso del espacio de moduli $X_{coarse}$ $X$ se define como el sheafification de la presheaf $$U\to \{ \mathrm{isomorphism \ classes \ of \ objects \ of \ X_U} \}. $$ For example, the stack $\mathcal M_g$ associates to each scheme $U$ the groupoid $\mathcal M_g(U)$ of smooth proper curves of genus $g$ (so we do not mod out by isomorphisms). On the other hand, the moduli space $M_g$ associates to $U=\mathrm{Spec\ } \mathbb C$ the set of isomorphism classes of smooth proper curves of genus $g$ over $U$. (There is no such moduli interpretation for $M_g(U)$ if $U$ no es el espectro de una algebraicamente cerrado de campo, porque la presheaf anterior no es una gavilla en general).

Claramente, hay una morfismos $X\to X_{coarse}$ a cargo de "modding a cabo isomorphisms".

Esto indica que el "resumen" de la definición de la gruesa espacio de moduli de $X$. Dos hechos que son buenos para tener en cuenta es que el $X\to X_{coarse}$ es un "gerbe" y (lo más importante) la gavilla $X_{coarse}$ es representable por una expresión algebraica de espacio si $X$ está separado.

Como se puede ver, la definición de un grueso espacio de moduli tiene sentido para cualquier pila. El papel de la Quilla-Mori demuestra que el grueso del espacio de moduli es de hecho una expresión algebraica de espacio si $X$ es lo que se denomina separados cociente de la pila.

La representatividad de $X_{coarse}$ por un esquema es un problema de difícil solución, ya que hay muchos algebraicas, espacios que no son representables por un esquema. Soy consciente de, básicamente, dos no trivial métodos para ver que $X_{coarse}$ es un esquema (que incluso podría ser el "mismo" de alguna manera). Estos son GIT (Mumford) y los métodos de Viehweg (ver su libro). Es con estos métodos que usted puede demostrar que el grueso del espacio de moduli de los módulos de la pila de

suave adecuado curvas de género $g$, o

principalmente polarizada abelian variedades de fijo de grado, o

canónicamente polarizada variedades con fijo polinomio de Hilbert, o

hypersurfaces de fijo grado $d\geq 3$$\mathbb P^n$$n\geq 3$, o

polarizado 3d superficies de grado fijo

es un esquema. (En algunos casos especiales también se puede argumentar de forma diferente).

Answer 2

Eche un vistazo a las siguientes notas:

• Brian Conrad, La Quilla-Mori teorema a través de pilas, pdf.

Esta es una buena exposición de la cuenta de la Quilla-Mori teorema, dar condiciones suficientes para que un Artin pila de admitir a un grueso de los módulos de la pila.