¿Por qué la (topología dada por) métrica de Hausdorff sólo dependen de la topología?

Question

Si tengo un espacio métrico compacto $(X,d)$, puedo definir la métrica de Hausdorff en el set $K(X)$ de todos los no-vacío compacto (equivalentemente, cerrada) de subconjuntos de a $X$ $$d_H(A,B) = \max ( \sup_{x \in A} \inf_{y \in B} d(x,y), \sup_{y \in A} \inf_{x \in B} d(x,y))$$

Ahora, me dicen, "la topología en $K(X)$ sólo depende de la topología de $X$, como cualquiera de las dos métricas en $X$ son equivalentes". Debo interpretar las dos métricas son equivalentes como "que generan la misma topología"? Entonces, la implicación de la Hausdorff métricas de equivalente no está claro en absoluto.

Por otro lado, si tengo que interpretar dos métricas de equivalente como $c d_1<d_2 < Cd_1$, entonces la métrica de Hausdorff la producción de la misma topología que parece claro, pero el hecho de que cualquiera de las dos métricas en $X$ son equivalentes es sospechosa. ¿La compacidad de $X$ de la fuerza de esto?

Incluso si sé que uno de los que la interpretación correcta, entonces puede probar y comprobar el estado de cuenta. De hecho, yo preferiría que, a través de una completa prueba de la declaración.

Como un aparte, hay una notación estándar para la mi $K(X)$? El libro que me estoy leyendo usa $2^X$, aunque sospecho que debido a un error tipográfico limitaciones.

Answer 1

Su primera interpretación es la correcta.

La topología en $K(X)$ inducida por la métrica de Hausdorff tiene una descripción como un hit-and-miss topología. Es decir, para un conjunto abierto no vacío $U \subseteq X$ poner $$ U^+ = \{C \in K(X) \mediados de C \cap U \neq \emptyset\} $$ y $$ U^- = \{C \in K(X) \mediados de C \subseteq U\}. $$ El conjunto $U^+$ contiene el pacto establece que cumplan $U$ y el conjunto de $U^-$ contiene el pacto establece que la señorita $X \setminus U$.

Los conjuntos de $U^+$ $U^-$ donde $U$ se ejecuta a través de la no-vacío abierto conjuntos de $X$ formar un subbasis para el llamado de la topología de Vietoris en $K(X)$. Los conjuntos de $[U; V_1,\dots,V_n] := U^- \cap V_{1}^+ \cap \cdots \cap V_{n}^+$ forma de una conveniente base para la topología de Vietoris.

El punto es que uno puede demostrar que la métrica de Hausdorff induce la topología de Vietoris en $K(X)$.

Puede ser útil para probar en algún punto de que para una contables subconjunto denso $D$ $X$ la colección no vacía de subconjuntos finitos de $D$ forma una contables subconjunto denso de $K(X)$.

Una buena y detallada exposición de estas ideas se pueden encontrar por ejemplo en Srivastava, Un curso sobre los conjuntos de Borel, en la sección 2.6, ver los Espacios de conjuntos Compactos, páginas 66ff.

Añadido: La segunda interpretación es demasiado fuerte. No es muy difícil demostrar que una grasa conjunto de Cantor y la costumbre ternario conjunto de Cantor son homeomórficos, pero no bi-Lipschitz homeomórficos.