¿Cuál es el soporte de un módulo localizado?

Question

Sea $R$ sea un anillo noetheriano conmutativo, y sea $\mathfrak{m}$ sea un ideal maximal de $R$ . Sea $M$ sea una torsión $R_\mathfrak{m}$ -considerado como un $R$ -módulo. ¿Es posible que $M_\mathfrak{p} \ne 0$ para algún ideal primo $\mathfrak{p}$ no contenida en $\mathfrak{m}$ ?

Intuitivamente/geométricamente, esto no parece posible. Lo que tenemos aquí es una gavilla coherente sobre $\operatorname{Spec} R_\mathfrak{m}$ y su imagen directa en $\operatorname{Spec} R$ . Lo que yo desea argumentar es que para cualquier punto $\mathfrak{p}$ de $\operatorname{Spec} R$ , $\mathfrak{p} \ne \mathfrak{m}$ existe una vecindad abierta $U$ de $\mathfrak{p}$ que no contenga $\mathfrak{m}$ y, por tanto, las secciones de $M$ en $U$ debe ser $0$ ... pero esto no es del todo cierto, ya que la imagen de $\operatorname{Spec} R_\mathfrak{m}$ no es sólo $\{ \mathfrak{m} \}$ .

Sabemos que $\mathfrak{p}$ es en apoyo de $M$ sólo si $\mathfrak{p}$ contiene el aniquilador de $M$ . Para demostrar que $\mathfrak{p}$ no está en el soporte de $M$ debemos exhibir un elemento de $R \setminus \mathfrak{p}$ que aniquila $M$ . Pero, ¿por qué existe este elemento?

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En caso de que la respuesta a mi primera pregunta sea "sí", añadamos más hipótesis: supongamos que $R$ es un dominio Dedekind. Entonces $\operatorname{Spec} R_\mathfrak{m}$ consta de un punto abierto y un punto cerrado, y las secciones/tallos sobre el punto abierto deben ser $0$ porque $M$ es una torsión $R_\mathfrak{m}$ -módulo. Estoy convencido de que esto demuestra que $M_\mathfrak{p} = 0$ para todos $\mathfrak{p} \ne \mathfrak{m}$ ... pero ¿cómo se traduce esto en álgebra?

Answer 1

He encontrado esta pregunta algo confusa, debido a las expectativas del OP, y a la posible interpretación del término torsión . Por esta razón doy una respuesta. Puede que sea más geométrica de lo que la OP quiere, pero mi opinión es que pensar geométricamente aclara las respuestas a este tipo de preguntas, mientras que pensar algbraicamente puede ser confuso.

Supongamos que $R$ (y por tanto $R_{\mathfrak m}$ ) son dominios integrales. Un módulo sobre un dominio integral se llama torsión si cada elemento del módulo es aniquilado por un elemento distinto de cero del dominio. Si el módulo está finitamente generado, entonces eligiendo un elemento no nulo del dominio para cada generador y multiplicándolos juntos, encontramos un único elemento no nulo del dominio que aniquila todo el módulo.

Ahora bien $M$ es un módulo f.g. sobre a $A$ y $I$ es su aniquilador, entonces $M_{\mathfrak p}$ es distinto de cero para un punto $\mathfrak p \in $ Espec $A$ sólo si $\mathfrak p \supset I$ por lo que el apoyo de $M$ es igual al subconjunto cerrado $V(I)$ de Spec $A$ .

Combinando los dos párrafos, estamos considerando un módulo f.g. sobre $R_{\mathfrak m}$ cuyo soporte se encuentra en $V(f)$ para algún valor distinto de cero $f \in R_{\mathfrak m}$ , y preguntando si su apoyo como $R$ -consiste en un único punto $\mathfrak m$ . También podemos hacer que el apoyo en Spec $R_{\mathfrak m}$ lo más grande posible, para intentar que el apoyo en Spec $R$ tan grande como sea posible, así que supongamos que el apoyo es realmente $V(f)$ (por ejemplo, tomando $M = R/\mathfrak m$ ). Despejando denominadores, también podemos suponer que $f \in R$ . De hecho, debemos suponer $f \in \mathfrak m$ para que no se convierta en una unidad en $R_{\mathfrak m}$ . (Por lo demás $M$ sería aniquilada por una unidad de $R_{\mathfrak m}$ y, por tanto, sería igual a $0$ .)

Nuestra pregunta entonces se reduce a preguntar, para un valor distinto de cero $f \in \mathfrak m$ , si la imagen de $V(f) \subset$ Espec $R_{\mathfrak m}$ necesariamente es igual al punto único $\mathfrak m$ . La respuesta es no en general, lo que significa que el apoyo de $M$ , considerado como un $R$ -será normalmente mayor que el módulo $\mathfrak m$ .

La razón es que $V(f)$ (en Spec $R_{\mathfrak m}$ ) es el germen en $\mathfrak m$ de la hipersuperficie en Spec $R$ recortado por $f$ (es decir, es el germen en $\mathfrak m$ del lugar de fuga de $f$ en Spec $R$ ), por lo que su cierre Zariski en Spec $R$ será la componente irreducible de esa hipersuperficie que pasa por $\mathfrak m$ . (Supongamos que $R$ es noetheriano, por lo que existen componentes irreducibles y se comportan bien).

Así que la única manera de que la imagen de $V(f)$ podría ser sólo $\mathfrak m$ es si $\mathfrak m$ fuera una hipersuperficie en Spec $R$ . Esto será posible si $R$ tiene dimensión uno, pero sólo en ese caso.

Así que si $R$ es unidimensional, entonces la imagen de $V(f)$ será sólo $\mathfrak m$ pero no de otro modo.

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Por otra parte, si suponemos que $M$ es torsión en un sentido muy fuerte, a saber, que cada elemento es aniquilado por una potencia de $\mathfrak m$ entonces su soporte será simplemente $\mathfrak m$ y la imagen de en Spec $R$ volverá a ser $\mathfrak m$ . Así que en este caso $M$ se apoyará en $\mathfrak m$ como $R$ -módulo.

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La cuestión es que $R_{\mathfrak m}$ no es en absoluto lo mismo que mirar $R/\mathfrak m$ o $R/\mathfrak m^n$ . Estos dos últimos anillos se apoyan en $\mathfrak m$ pero $R_{\mathfrak m}$ ve todo el germen de Spec $R$ cerca de $\mathfrak m$ .

Answer 2

La respuesta a su primera pregunta es sí. Deje que $R$ sea tal que existan dos ideales máximos distintos $m_1, m_2$ que contengan un mismo ideal primo (no asociado) $ \mathfrak q$ . Sea $M=(A/\mathfrak q)_{m_1}=A_{m_1}/\mathfrak q A_{m_1}$ . Está claramente finitamente generada y es de torsión sobre $A_{m_1}$ .

Afirmo que $M_{m_2}\ne 0$ . Supongamos lo contrario. Sea $e$ sea la clase de $1$ en $M$ . Existe $s_2\in A\setminus m_2$ tal que $s_2.e=0$ en $M$ . Por lo tanto, existe $s_1\in A\setminus m_1$ tal que $s_1s_2=0$ en $A/\mathfrak q$ . Por lo tanto $s_1s_2\in \mathfrak q$ . Así que uno de los $s_i$ pertenece a $\mathfrak q\subset m_i$ . Contradicción.

Cuando Spec( $R$ ) es irreducible y tiene dimensión $\le 1$ la respuesta de Makoto Kato demuestra que tales ejemplos no existen.

Answer 3

En caso de que la respuesta a mi primera pregunta sea "sí", añadamos más hipótesis: supongamos que $R$ es un dominio Dedekind. Entonces $\operatorname{Spec} R_\mathfrak{m}$ consta de un punto abierto y un punto cerrado, y las secciones/tallos sobre el punto abierto deben ser $0$ porque $M$ es una torsión $R_\mathfrak{m}$ -módulo. Estoy convencido de que esto demuestra que $M_\mathfrak{p} = 0$ para todos $\mathfrak{p} \ne \mathfrak{m}$ ... pero ¿cómo se traduce esto en álgebra?

Prueba Sea $R$ sea un dominio Dedekind. Sea $P$ sea un ideal maximal de $R$ . Sea M una torsión finitamente generada $R_P$ -módulo. Dado que $R_P$ es un dominio ideal principal, $M$ es un producto finito de torsión cíclica $R_P$ -módulos. Por lo tanto, podemos suponer que $M$ es un producto finito de módulos de tipo $R_P/(P^n)R_P$ . Desde $R_P/(P^n)R_P$ es isomorfo a $R/P^n$ el apoyo de $M$ como $R$ -es { $P$ }.