Un abra la cubierta de la superficie

Question

$\quad$$\quad$Vamos a un subconjunto $S\subseteq \mathbb{R}^{3}$ es regular de la superficie.(es decir,para cada una de las $\mathbb {x}\in S$,existe un conjunto abierto $U\subseteq \mathbb{R}^{2},$ y abiertos vecinales $V$$\mathbb {x}\in \mathbb{R}^{3}$, y un surjective función continua $\varphi:U\rightarrow V\cap S$ tal que $\textit {1.} \varphi$ es continuamente diferenciable; $\textit {2.} \varphi$ es un homeomorphism;$\textit {3.}$ Por cada $(u,v)\in U$, el diferencial de $d\varphi_{(u,v)}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ es un uno-a-una transformación lineal.)$\quad$

$\quad$$\quad$Definir $\partial S=\overline{S}\backslash S$ (podemos pensar de $\partial S$ como el límite de la superficie regulares $S$). Deje$K_{n}=\{\mathbf{x}\in S:|\mathbf{x}|\leq n,dist(\mathbf{x},\partial S)\geq \frac{1}{n}\},$ aquí $dist(\mathbf{x},\partial S)=\inf\{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|:\mathbf{y}\in \partial S\}.$$S=\bigcup_{n=1}^{\infty}K_{n},$y que cada una de las $K_{n}$ es cerrado y acotado en $\mathbb{R}^{3}.$$\qquad$$\qquad$

$\quad$$\quad$Desde $S$ es un habitual de la superficie, elegir para cada $\mathbf{x}\in S$ un conjunto abierto $U_{\mathbf{x}}\subset \mathbb{R}^{2},$ abierto subconjunto$V_{\mathbf{x}}\subset S,$ $C^{1}$ mapa de $\varphi_{\mathbf{x}}:U_{\mathbf{x}}\rightarrow V_{\mathbf{x}}$ que es inyectiva con inyectiva derivados.Elija $B_{\mathbf{x}}\subset U_{\mathbf{x}}$ abierto pelota con $\overline {B_{\mathbf{x}}}\subset U_{\mathbf{x}}$ y el conjunto de $V^{'}_{\mathbf{x}}=\varphi_{\mathbf{x}}(B_{\mathbf{x}}).$$\quad$$\quad$

$\quad$$\quad$La demostración de que podemos elegir una secuencia $\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\cdots$ y enteros $p_{1} \leq p_{2}\leq\cdots$ tal que $\bigcup_{i=1}^{p_{n}}V^{'}_{\mathbf{x}_{i}}$ es una cubierta abierta de a $K_{n}$,y que podemos elegir el $U_{\mathbf {x}_{i}}$ todos distintos, y de tal manera que sólo un número finito de intersectan cualquier pelota.

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$\quad$$\quad$ Estoy realmente sorprendida de que las palabras $\textit{"and that we can choose the $U_{\mathbf {x}_{i}}$ all disjoint,}$ $\textit{and such that only finitely many intersect any ball."}$ , En realidad,me tomó mucho tiempo para probarlo.Hasta ahora, no hay ningún progreso en absoluto. ¿Qué papel juega? Cómo lidiar con este problema? Su útil ayuda será muy apreciada！

Answer 1

Que papel que juega sólo puede ser juzgado si sabemos qué se hace con el $U_{\mathbf {x}_{i}}$. Así que vamos a ver cómo llegar a ellos.

Aunque no es realmente importante, tengamos en cuenta que es posible que $\partial S= \emptyset$. En ese caso $K_n = S \cap D(0,n)$ donde $D(0,n)$ denota la bola cerrada con centro de $0$ y radio de $n$.

Como ustedes saben, cada una de las $K_n$ es compacto. Por lo tanto, podemos encontrar un número finito de $\varphi^n_{\mathbf {x}^n_{i}} : U_{\mathbf {x}^n_{i}} \to V_{\mathbf {x}^n_{i}}$, $i = 1,...,k(n)$, tal que $K_n \subset \bigcup_{i=1}^{k(n)} V'_{\mathbf {x}^n_{i}}$. Ahora establezca $p_r = \Sigma_{n=1}^r k(n)$ y organizar la $\mathbf {x}^n_{i}$ a una secuencia a través de $\mathbf {x}_{i} = \mathbf {x}^r_{i - p_{r-1}}$$p_{r-1} < i \le p_r$. Por lo tanto, para cada una de las $i$ existe una única $r(i)$ tal que $\mathbf {x}_{i} = \mathbf {x}^{r(i)}_{i - p_{r(i)-1}}$

Definir $U_i = U_{\mathbf {x}^{r(i)}_{i - p_{r(i)-1}}}$, $V_i = V_{\mathbf {x}^{r(i)}_{i - p_{r(i)-1}}}$ y $\varphi_i = \varphi_{\mathbf {x}^{r(i)}_{i - p_{r(i)-1}}}$. El $U_i$ son subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^2$, pero que no necesitan ser pares distintos. Vamos a ajustar. Hay un diffeomorphism $h : B(0,1) \to \mathbb{R}^2$ donde $B(a,r)$ = bola abierta con centro de $a$ y radio de $r$ (tomemos, por ejemplo,$h(x) = \frac{x}{1 - \lVert x \rVert^2}$). Por otra parte, las traducciones $t_i : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, t_i(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + (2i,0)$ son diffeomorphisms.

Reemplace $U_i$ $U'_i = t_i(h^{-1}(U_i))$ $\varphi_i$ $\varphi'_i = \varphi \circ g_i$ donde $g_i = h \circ t_{-i} : U'_i \to U_i$.

A continuación, el $U'_i$ son disjuntos a pares debido a que están contenidos en $B((2i,0),1)$. Por otra parte, cada balón $B$ es en algunas de las $B(0,2i)$$U'_j \cap B \subset B((2j,0),1) \cap B(0,2i) = \emptyset$$j > i$.